¿Es retracción relación antisimétrica?

Question

Definición Deje $A$ $B$ haber objetos en categoría $C$. Decimos que $A$ se retracte de $B$, anotada por $A\le_r B $, iff $\exists s:A\rightarrow B, r:B\rightarrow A$ tal que $r\circ s=1_A$.

Es fácil ver que $\le_r$ es reflexiva y transitiva. Pero, estoy teniendo dificultad para ver de que $\le_r$ también es anti-simétrica. En otras palabras, la siguiente declaración es verdadera:

$$[(A\le_r B)\wedge (B\le_r A)]\Rightarrow (A\cong B).$$

La motivación detrás de esta pregunta se deriva de un concepto de "menos co-separador". Un ejemplo de menos co-separador de 2-establecer en la categoría de conjuntos y funciones. Uno puede definir un mínimo de co-separador como un co-separador tal que $\forall co-separator B\in C, A\le_r B$. A partir de esto, dado que el $\le_r$ es anti-simétrica, la singularidad de co-separador (hasta isomorfismo) de la siguiente manera. Me gustaría mucho agradezco cualquier aporte en esta también.

Si la declaración sobre la lucha contra la simetría es falso, podría usted por favor, proporcione cualquier ejemplo elemental, si es posible?

Answer 1

No es antisimétrica en general. Por ejemplo, en espacios topológicos, $A=\mathbb{N}\times \mathbb{R}$ y $B=A\coprod [0,1]$ son cada uno contrae uno del otro pero no homeomórficos. El % de contracción $A\leq_r B$es obvio. El % de contracción $B\leq_r A$, par el resto de los ejemplares de $[0,1]$ $\mathbb{R}$ con los $\mathbb{R}$ y mapa $A$ en uno de los ejemplares de $B$ (que es una retracción).