La definición de la segunda forma Fundamental

Question

Deje $r:M\rightarrow{\mathbb{R}^{n+1}}$ ser una inmersión isométrica y $M$ $n$- dimensiones de Riemann Colector. Es decir, $M$ es la hipersuperficie en $\mathbb{{R}^{n+1}}$.

A continuación, podemos introducir un vector normal de campo: $N:M\rightarrow{T\mathbb{{R}^{n+1}}}=\mathbb{R}^{n+1}\times{\mathbb{R}^{n+1}}$ satisface $N_p\in{T_{r(p)}\mathbb{R}^{n+1}}=\{r(p)\}\times\mathbb{R}^{n+1}$. Así que vamos a tener $T_{r(p)}\mathbb{R}^{n+1}=r_*(T_pM)\oplus{span\{N_p\}}$.

Antes de hablar de este problema, nos fijamos en la conexión en $\mathbb{R}^{n+1}$. Deje $\bigtriangledown$ ser su conexión y $X=\sum_{i=1}^{n+1}x_ie_i$, $Y=\sum_{i=1}^{n+1}y_ie_i$. Por lo $\bigtriangledown_XY=\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}x_je_j(y_i)e_i$.

Cuando leí el libro, me encuentro dos definiciones diferentes de La Segunda Forma Fundamental. Quiero comprobar que son los mismos.

Deje $\bar{n}$ denotar el Guass Mapa que en realidad es: $n=\pi_2\circ{N}:M\rightarrow{\mathbb{R}^{n+1}}$.

La primera definición es la siguiente:

$II|_U=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}<\bigtriangledown_{\frac{\partial{r}}{\partial{x_i}}}N,\frac{\partial{r}}{\partial{x_j}}>dx_i\otimes{dx_j}$

La segunda definición es la siguiente:

$II|_U=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}<\frac{\partial{n}}{\partial{x_i}},\frac{\partial{r}}{\partial{x_j}}>dx_i\otimes{dx_j}$

Así que yo creo que son los mismos. A continuación, trataré de demostrarlo. Pero me ha fallado.

Yo quiero probar $\bigtriangledown_{\frac{\partial{r}}{\partial{x_i}}}N=\frac{\partial{n}}{\partial{x_i}}$.

Prueba. Deje $\frac{\partial{r}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{\partial{r_k}}{\partial{x_i}}e_k$$N=\sum_{k=1}^{n+1}n_ke_k$.
Entonces no tengo idea.

Cómo probar??

Answer 1

Sugerencia:

Tenga en cuenta que si $\langle\partial_j,n\rangle=0$ también $\langle D_{\partial_i}\partial_j,n\rangle+\langle\partial_j,D_{\partial_i}n\rangle=0$. Utilizar para corregir sus adivinanzas.

Uno es tomar $\partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i}$ para la aplicación coordinada de los vectores de tangentes.

Actualización:

Muy probable que usted está usando el estándar de la derivada covariante $\nabla$${\Bbb{R}}^{n+1}$.

En este caso se calcula para $\nabla_XY=[JY]X$ para que el vector de campo $X,Y$ donde $[JY]$ significa que la Jacobiana del campo $Y$.

La derivada covariante y la vinculación satisfacer: $$ \frac{\partial}{\partial x^i}\langle X,Y\rangle= \langle \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}X,Y\rangle + \langle X,\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}Y\rangle .$$

Cuando se aplica a $N$ $\frac{\partial}{\partial x^j}$ que $\langle N,\frac{\partial}{\partial x^i}\rangle=0$ \begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x^i}\langle N,\frac{\partial}{\partial x^j}\rangle&=&0\\ \langle \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}N,\frac{\partial}{\partial x^j}\rangle+\langle N,\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}\frac{\partial}{\partial x^j}\rangle&=&0\\ \langle \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}N,\frac{\partial}{\partial x^j}\rangle&=&- \langle N,\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}\frac{\partial}{\partial x^j}\rangle \end{eqnarray*}

Así $$II|_U=\sum_{ij} \langle\nabla_{\frac{\partial{}}{\partial{x^i}}}N,\frac{\partial{}}{\partial{x^j}} \rangle dx^i\otimes{dx^j}, $$ también es $$\qquad =-\sum_{ij} \langle N,\nabla_{\frac{\partial{}}{\partial{x^i}}}\frac{\partial{}}{\partial{x^j}} \rangle dx^i\otimes{dx^j}. $$