Suma / notación sigma

Question

Hay muchas variantes en la notación para la suma. Por ejemplo,$$\sum_{k=1}^{n} f(k), \qquad \sum_{p \text{ prime}} \frac{1}{p}, \qquad \sum_{\sigma \in S_n} (\operatorname{sgn} \sigma) a_{1 , \sigma(1)} \ldots a_{n , \sigma(n)}, \qquad \sum_{d \mid n} \mu(d).$ $

¿Qué es exactamente una suma? Cómo lo definimos? ¿Hay una notación que generalice todo lo anterior, de modo que cada una de las sumas anteriores sea una variante de la notación general? ¿Hay algún libro que discuta este asunto?

Parece que la suma es un concepto bastante evidente por sí mismo, y todavía tengo que encontrar una discusión al respecto en un libro de texto.

Answer 1

Excepto en el caso del límite superior e inferior, todas las conclusiones son simplemente sumas de la forma $$\sum_{P(i)} f(i)$ $

Donde $P$ es un predicado unario en el "lenguaje de las matemáticas", y $f(i)$ es una función que devuelve un valor que nos podemos sumar. En el caso de la suma de reciprocals principal $P(i)$ indica que $i$ es un número primo y $f(i)=\frac1i$. En el segundo fue de suma, $P(i)$ $i\in S_n$ y $f(i)$ fue ese término sumando. Y así sucesivamente.