Sabemos que $$ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int {0} ^ {\infty} \frac {e ^ {-x}} {\sqrt {x}} dx = \sqrt {\pi} $$ but it seems that, for every $a > 0 $ we have $$\int{0}^{\infty}\frac{e^{-\left(\sqrt{x}-a/\sqrt{x}\right)^{2}}}{\sqrt{x}}dx=\sqrt{\pi}$$ so the additional term $a/\sqrt{x} $ no cambia el valor de la integral. ¿Cómo podemos probar (o refutar) lo? Gracias.
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Sugerencia. Hacer el cambio de variable $u=\sqrt{x}$, $du=\dfrac{dx}{2\sqrt{x}} $, para obtener $$ \int_0^{+\infty}\frac{e^{-\left(\sqrt{x}-a/\sqrt{x}\right)^{2}}}{\sqrt{x}}dx=2\int_0^{+\infty}e^{-\left(u-a/u\right)^{2}}du=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\left(u-a/u\right)^{2}}du \tag1 $$ Entonces uno se puede recordar que, para cualquier función integrable $f$, (véase aquí para una prueba):
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}f\left(u-\frac{a}{u}\right)\mathrm{d}u=\int_{-\infty}^{+\infty} f(u)\: \mathrm{d}u, \quad a>0. \tag2 $$
Aplicarlo a $f(u)=e^{-u^2}$, se obtiene
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(u-u)^2}\mathrm{d}u=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} \mathrm{d}u=\color{blue}{\sqrt{\pi}}, \quad a>0, \tag3 $$ dando el resultado deseado.
