Deje $\ f\colon A\to B$ y dejar $X\subset A$, $Y\subset B$, demostrar que $$f(X\cap f^{-1}(Y))=f(X)\cap Y$$
El "$\subset$"$-$la inclusión es fácil: si $y\in f(X\cap f^{-1}(Y))$, existe un $x\in X\cap f^{-1}(Y)$ tal que $f(x)=y$. Por lo tanto, $x\in X$$x\in f^{-1}(Y)$, y, por tanto,$f(x)\in f(X)$$f(x)\in Y$. Esto conduce a $f(x)=y\in f(X)\cap Y$.
Estoy teniendo problemas con el resto de la inclusión. Si me proceder de la misma manera que yo recibo: si $y\in f(X)\cap Y$,$y\in f(X)$$y\in Y$. Por lo tanto, existe un $x\in X$ tal que $f(x)=y$, y existe un $x'\in f^{-1}(Y)$ tal que $f(x')=y$. Si $x=x'$, es claro que el resultado, pero no sé si $x=x'$.
No sé qué hacer. Voy a agradecer cualquier ayuda.
