Topología de Munkres, página 102, pregunta 19: a

Question

PROBLEMA

Si $A \subset X$, podemos definir el límite de $A$ por la ecuación $$\text{Bd } A = \bar{A} \cap \overline{X - A}.$$

[Munkres Topología, página 102, 19 de pregunta:a] Muestran que $\text{Int } A$ $\text{Bd } A$ son distintos, y $\bar{A} = \text{Int } A \cup \text{Bd } A$.

MI INTENTO (a través de un EJEMPLO)

Supongamos que tengo el disco cerrado $$A = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 \leq 1\right\}.$$

Claramente, desde $A$ es cerrado, entonces he a $\bar{A} = A$.

También tengo $$\text{Int } A = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 < 1\right\},$$ y $$\text{Bd } A = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 = 1\right\},$$ así que $$\text{Int } A \cap \text{Bd } A = \emptyset$$ (es decir, $\text{Int } A$ $\text{Bd } A$ son distintos), y $$\bar{A} = A = \text{Int } A \cup \text{Bd } A.$$

PREGUNTA

Esto da una cierta intuición de cómo resolver el problema en caso de $A$ es cerrado (aunque es cierto que, actualmente tengo problemas para articular un general de la prueba [es decir, una prueba de que no depende de ejemplos específicos, tales como lo que he dado más arriba]). ¿Cómo resolver el problema en general para cerró $A$? Cómo sobre el caso al $A$ está abierto?

Añadido 05 de septiembre de 2017 , por supuesto, un conjunto puede ser a la vez abierto y cerrado, o puede ser ni abierto ni cerrado! Ahora estoy más confundido... =(

Answer 1

Si es$x\in\operatorname{Int}A$, entonces hay un nebulismo$N$ de$x$ tal que$N\subset A$. Por lo tanto,$N\cap(X\setminus A)=\emptyset$ y por lo tanto$x\notin \overline{X\setminus A}$. Esto prueba que$\operatorname{Int}A$ y$\operatorname{Bd}A$ son disjuntos.

Si$x\in\overline A$ y$x\notin\operatorname{Int}A$, entonces no hay una vecindad de$x$ es un subconjunto de$A$, lo que significa que cada vecina de$x$ se interseca con$X\setminus A$. Por lo tanto $x\in\operatorname{Bd}A$. Asi que $\overline A\subset\operatorname{Int}A\cup\operatorname{Bd}A$.

Finalmente, si$x\in\operatorname{Int}A\cup\operatorname{Bd}A$, entonces

• si$x\in\operatorname{Int}A$, entonces$x\in A$ y por lo tanto$x\in\overline A$;
• si$x\in\operatorname{Bd}A$, entonces, por definición,$x\in\overline A$.

Por lo tanto, $\overline A=\operatorname{Int}A\cup\operatorname{Bd}A$.

Answer 2

El interior de$A$ se denota$A^o$

Sabemos que (o se puede probar si lo desea) que$$\overline{X-A}=X-A^o$ $

Por lo tanto$$A^o \cap bd(A)=A^o \cap(\bar{A} \cap (X-A^o))= \emptyset$ $

Ahora para probar la segunda afirmación usa estos:

$x \in bd(A)$ iff para cada vecindario abierto$U$$x$% tenemos ese$U \cap A \neq \emptyset$ y$U \cap (X-A) \neq \emptyset$

.

$x \in \bar{A}$ iff todas las vecindades abiertas de$x$ intersectan$A$