Usando el hecho de que $$cd\leq\frac{c^p}{p}+\frac{d^q}{q}$$ if $$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$ and letting $$c=\frac{|f(t)|}{\left(\int{a}^{b}|f(t)|^p dt\right)^\frac{1}{p}}$$ and $$d=\frac{|g(t)|}{\left(\int{a}^{b}|g(t)|^q dt\right)^\frac{1}{q}},$$ I have proven a lemma which states $% $ $\int{a}^{b}|f(t)g(t)|dt\leq\left(\int{a}^{b}|f(t)|^p dt\right)^\frac{1}{p}\left(\int_{a}^{b}|g(t)|^q dt\right)^\frac{1}{q}.$pero, ¿cómo puede utilizarse para probar la desigualdad de triángulo para esta norma? Estoy un poco confundido sobre el %#% de #% y $p$'s. ¿Utilizo lo que sé acerca de la relación del $q$ y $p$ escribir el %#% de $q$ de #%?
Respuesta
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SUGERENCIA:
Desde el lema demostrado (desigualdad de Hölder). Que $f,g \in L_{p}[a,b]$.
Entonces $$\int{a}^{b}|f+g|^{p}=\int{a}^{b}|f+g|^{p-1}|f+g|$ $
$$\le\int_{a}^{b}|f+g|^{p-1}(|f|+|g|) \text{ by triangle inequality of absolute value function}$$
$$=\int{a}^{b}|f+g|^{p-1}|f|+\int{a}^{b}|f+g|^{p-1}|g|$$
De este paso se puede aplicar la desigualdad de Hölder (integrales), simplificar usando la relación del $p$ y $q$, entonces usted conseguirá su desigualdad llamada la desigualdad de Minikwoski.
