Cálculo de un grupo de la homología de un simple complejo $0\rightarrow \mathbb{Z}^l \rightarrow \mathbb{Z}^n \rightarrow \mathbb{Z}^m\rightarrow 0$

Question

Considere la siguiente secuencia de grupos abelianos, donde $f\circ g = 0$.

$$0\longrightarrow \mathbb{Z}^l \overset{g}{\longrightarrow}\mathbb{Z}^n\overset{f}{\longrightarrow}\mathbb{Z}^m\longrightarrow 0 \tag{1}$$

Supongamos que $f$ y $g$ son explícitamente dadas por matrices. Me gustaría determinar la estructura de $H = Ker(f)/Im(g)$. Por el Teorema fundamental de grupos abelianos, es directo de la suma de grupos cíclicos: $H = \sum C_i$. ¿Cómo podemos calcular el orden de cada $C_i$?

Answer 1

Así que usted quiere encontrar la imagen y el núcleo de las matrices de más de $\mathbb Z$. Usted debe instintivamente desea utilizar lo que usted ya sabe acerca de álgebra lineal, pero no más de un campo. Resulta que el kernel es libre y es, precisamente, el espacio nulo si se considera la matriz de $\mathbb R$. Sin embargo, para la imagen que no son tan afortunados. Sin embargo, si pones la matriz $g$ en Smith-forma Normal, debe suceder que el cambio de base que has hecho es más enteros y permite leer fácilmente fuera de la imagen.