La siguiente integral apareció en el $8$ la Olimpiada Matemática Abierta de la Universidad Bielorrusa-Rusa. $$I= \int_0 ^ \infty \frac {x- \sin x}{x^3(x^2+4)} dx$$ Utilicé las series de energía: $$x- \sin x = \sum_ {n=1}^ \infty \frac {(-1)^{n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!} \rightarrow I= \sum_ {n=1}^ \infty \frac {(-1)^{n+1}}{(2n+1)!} \int_0 ^ \infty \frac {x^{2n-2}}{x^2+4}dx$$ Tomando la integral interna y sustituyendo $ \displaystyle {x^2=4t \rightarrow dx= \frac {dt}{ \sqrt {t}}}$ da: $$ \int_0 ^ \infty \frac {x^{2n-2}}{x^2+4}dx=4^{n-2} \int_0 ^ \infty \frac {t^{n-1- \frac12 }}{t+1}dt$$ $$=4^{n-2} B \left (n- \frac12 , 1-n+ \frac12\right )=4^{n-2} \Gamma\left (n- \frac12\right ) \Gamma\left (1+ \frac12 -n \right )$$ Y usando la fórmula de reflexión de Euler: $$ \Gamma\left (n- \frac12\right ) \Gamma\left (1+ \frac12 -n \right )= \pi \csc\left ({n \pi - \frac { \pi }{2}} \right )=- \pi\sec (n \pi )=(-1)^{n+1} \pi $$ $$I= \pi\sum_ {n=1}^ \infty \frac {4^{n-2}}{(2n+1)!}= \frac { \pi }{32} \sum_ {n=1}^ \infty \frac {2^{2n+1}}{(2n+1)!}= \frac { \pi }{32}( \sinh 2 -1)$$ No encontré la solución oficial, pero la respuesta dada $ \displaystyle { \frac { \pi }{32} \left ( \frac {e^2-1}{e^2} \right )},\,$ no coincide. ¿Puede ayudarme a encontrar mi error? ¿Y tal vez compartir algunos métodos diferentes para resolver este integral?
Respuesta
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Deje que $J(a)= \displaystyle\int_ {0}^{ \infty } \frac {ax- \sin ax}{x^3(x^2+1)}dx$ . Diferenciando por $a$ tres veces (lo cual es admisible bajo el signo integral, porque las integrales resultantes convergen uniformemente para $a$ en cualquier intervalo finito), obtenemos $$J'''(a)= \displaystyle\int_ {0}^{ \infty } \frac { \cos ax}{x^2+1}dx= \frac { \pi }{2}e^{-|a|}.$$ Con $J(0)=J'(0)=J''(0)=0$ esto da $J(a)= \dfrac { \pi }{2} \Big (1-|a|+ \dfrac {a^2}{2}-e^{-|a|} \Big ) \operatorname {sgn}(a)$ .
La respuesta es $ \dfrac {J(2)}{16}= \dfrac { \pi }{32}(1-e^{-2})$ como se esperaba.
