Usando a Markov ' implica la s desigualdades a que $E(X_i) \rightarrow 0$ $P(X_i=0) \rightarrow 1$

Question

Estoy tratando de usar la desigualdad de Markov para mostrar que para una secuencia de resultados positivos de las variables aleatorias $X_1, X_2, ....$ con valores en $N=\left\{0,1,2,...\right\}$ e $\lim_{i\rightarrow\infty}E[X_i]=0$, sostiene que $\lim_{i\rightarrow\infty}P[X_i=0]=1$.

Intuitivamente, entiendo que este concepto debido a la ley de los grandes números, ya que, como se $i$ enfoques infinito el valor esperado converge a la verdadera media 0 y la probabilidad de que $X_i$ es igual a la verdadera media converge a 1.

Sin embargo, estoy perplejo en cuanto a cómo utilizar la Desigualdad de Markov, $P(X\geq c)=E(X)/c$, para probar esto. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Desde $X_1,X_2,X_3,...$ son no-negativos variables aleatorias, para todos los $n \in \mathbb{N}$ usted tiene:

$$\mathbb{E}(X_n) = \sum_{k=1}^\infty \mathbb{P}(X_n \geqslant k) \geqslant \mathbb{P}(X_n \geqslant 1) = 1-\mathbb{P}(X_n=0).$$

(Esta es la desigualdad de Markov con $c=1$.) Re-organización de esta desigualdad, y la imposición de la cota superior de uno en probabilidades, te ofrece:

$$1 - \mathbb{E}(X_n) \leqslant \mathbb{P}(X_n=0) \leqslant 1 \quad \quad \quad \text{for all } n \in \mathbb{N}.$$

Ahora podemos establecer el resultado deseado utilizando el teorema del sándwich, tomando el límite de esta secuencia de desigualdades. En particular, desde la $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}(X_n) = 0$ obtenemos el exprimido límite:

$$1 \leqslant \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(X_n=0) \leqslant 1,$$

que establece que $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(X_n=0) = 1$. $\blacksquare$