La regla que quieres es
$\mathbf{z}$ sea cualquier $n$ -vectorial. El valor máximo de $\lambda\cdot \mathbf{z}$ sobre todos los vectores $\lambda$ con componentes no negativos que suman la unidad es el valor máximo de los componentes de $\mathbf{z}$ .
Prueba. Esto se desprende de la Desigualdad de Hölder para $p=1, q=\infty.$ Tiene una prueba elemental. Sea $i$ sea cualquier índice para el que $z_i$ es mayor. Entonces $$z_i - \lambda\cdot \mathbf{z} = (z_i - \lambda_1 z_1, z_i - \lambda_2 z_2, \ldots, z_i - \lambda_n z_n).$$ Desde $z_i\ge z_j$ para todos $j$ y $0\le \lambda_j\le 1$ para todos $j$ cada uno de los componentes del lado derecho es no negativo. Al menos uno será cero cuando $\lambda_i=1,$ QED.
En la secuela, $\lambda$ será el vector $(a_1^2, a_2^2, \ldots, a_n^2)$ donde $\mathbf a \in \mathbb{S}^{n-1}.$
Análisis
Simplifiquemos las expresiones. Dados los vectores $\mathbf{x}$ y $\mathbf y,$ escribir $$z_i = x_i y_i.$$ Dejemos que $P(\mathbf z)$ sea el conjunto de coordenadas $i$ para lo cual $z_i \gt 0.$ La expresión $|\sum_{i=1}^n a_i^2 x_i y_i| = |\sum_{i=1}^n a_i^2 z_i|$ se maximiza fijando $a_i=\pm 1$ para algunos $i\in P(\mathbf z)$ en el que $z_i$ es mayor (y todos los $a_j=0$ para $j\ne i$ ). Esto da como resultado
$$|\sup_{a\in\mathbb{S}^{n-1}} \sum_{i=1}^n a_i^2 x_i y_i| = |\max_{i\in P(\mathbf{z})} z_i| =\max_{i\in P(\mathbf{z})} z_i.\tag{1}$$
Si $P(\mathbf z)$ está vacía, esta expresión se maximiza estableciendo $a_i=1$ para algunos $i\in[n]$ en el que $-x_iy_i$ es el más pequeño, produciendo
$$|\sup_{a\in\mathbb{S}^{n-1}} \sum_{i=1}^n a_i^2 x_i y_i| = \min_{i} (-z_i) .\tag{2}$$
Supongamos que $S$ es un adecuado subconjunto de $[n]$ (si no, la igualdad de los dos lados es trivial) y es no vacío (es fácil ver que la desigualdad se mantiene en este caso). Cuando $S\cap P(\mathbf z) \ne \emptyset,$
$$\sup_{a\in\mathbb{S}^{n-1}} \sum_{i=1}^n I\{i\in S\} a_i^2 x_i y_i = \sup_{a\in\mathbb{S}^{n-1}} \sum_{i\in S}^n a_i^2 z_i\tag{3}$$
se maximiza fijando $a_i=\pm 1$ para un $i\in S\cap P(\mathbf z)$ para lo cual $z_i$ es mayor, y nos dice
$$|\sup_{a\in\mathbb{S}^{n-1}} \sum_{i\in S}^n a_i^2 z_i| = \max_{i\in S\cap P(\mathbf z)} z_i.\tag{4}$$
Por lo demás, $z_i \lt 0$ para todos $i\in S$ y $(3)$ se maximiza fijando $a_i=0$ para algunos $i\in S$ (y $a_j=\pm 1$ para algunos $j\ne i$ ). En este caso
$$|\sup_{a\in\mathbb{S}^{n-1}} \sum_{i\in S}^n a_i^2 z_i| = 0.\tag{5}$$
Cuando $S \cap P(\mathbf Z)$ es no vacía, $(4)$ no supera $(1)$ porque es el máximo sobre un subconjunto de los valores en $(1)$ . En todos los demás casos $(4)$ no supera $(1)$ y $(5)$ no excede de $(1)$ o $(2).$ Así, sin importar los valores $\mathbf x$ y $\mathbf y$ puede ser, el lado izquierdo de la desigualdad nunca supera al lado derecho. La desigualdad se mantiene al tomar las expectativas.
