¿3D líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas?

Question

es declarado en esta respuesta que la dirección del vector es una buena analogía para la pendiente en $3D$ espacio

$⟨x,y,z⟩=⟨x0,y0,z0⟩+t⟨mx,my,mz⟩$

ahora supongamos que tengo dos perpidicular líneas de $L1$ e $L2$ donde $L_1$ es

$(a,b,c) + t (m_x,m_y,m_z)$.

Las pendientes de las líneas perpendiculares debe ser negativo recíprocos uno del otro por lo tanto traté de definir $L2$ como

$⟨x_2,y_2,z_2⟩ = (a,b,c) + t (-1/m_x,-1/m_y,-1/m_z)$

por muchas razones, y es claro que no es cierto, por ejemplo, el producto escalar entre dos vectores direccionales sería igual a $-3$ no $zero$, es el vector direccional de la misma cosa como la pendiente? hacer las líneas perpendiculares sólo negativas pendientes recíprocas en $2D$ espacio? si no, ¿cuál sería una buena analogía para explicar ese hecho en $3D$?

Answer 1

Observe que en dos dimensiones, la pendiente (cuando se define) es la relación de los componentes del vector direccional: $$ \langle x,y\rangle = \langle x_0, y_0\rangle + t\langle m_x, m_y\rangle \tierra m_x \neq 0 \implica y = \frac{m_y}{m_x} x + \left(y_0 - \frac{m_y}{m_x}x_0 \right). $$

Nota que mover de un tirón los signos de $m_x$ e $m_y$ simultáneamente no hace nada para la línea en todo. La línea dada por $\langle x,y\rangle = \langle x_0, y_0\rangle + t\langle -m_x, -m_y\rangle$ es exactamente el mismo que el de la línea dada por $\langle x,y\rangle = \langle x_0, y_0\rangle + t\langle m_x, m_y\rangle.$

El "negativo recíproco" regla realmente te está diciendo a cambiar $\frac{m_y}{m_x}$ a $-\frac{m_x}{m_y}.$ Una manera simple de hacer esto es cambiar los dos componentes y se niega a sólo uno de ellos: $\langle x,y\rangle = \langle x_0, y_0\rangle + t\langle m_y, -m_x\rangle.$ Observe cómo el producto escalar muestra que el nuevo vector de $\langle m_y, -m_x\rangle$ es perpendicular a la edad de vectores $\langle m_x, m_y\rangle$: $$ \langle m_x, m_y\rangle \cdot \langle m_y, -m_x\rangle = m_x m_y + m_y(-m_x) = 0. $$

En definitiva, incluso en dos dimensiones, la regla es no tomar el negativo recíproco de cada componente del vector de dirección simultáneamente.

En dos dimensiones no es sólo una línea perpendicular a una recta dada, pero en tres dimensiones, hay muchas líneas perpendiculares a una recta dada. Por lo tanto, tiene más opciones para el vector de dirección de la línea perpendicular. Dado un vector de dirección $\langle m_x, m_y, m_z\rangle,$ donde $m_x$ e $m_y$ no son ambos cero, una posible elección de un vector es perpendicular $\langle m_y, -m_x, 0\rangle,$ que es una aplicación de la negativa regla de reciprocidad para las dos primeras dimensiones; esto todavía funciona, incluso en tres dimensiones, mientras nos aseguramos de no permitir que la tercera dimensión para hacer el producto escalar distinto de cero. (Es por eso que el tercer componente de la perpendicular de vectores es cero.)

Otro vector perpendicular a ambos de estos es $\langle m_x m_z, m_y m_z, -(m_x^2 + m_y^2)\rangle.$

Answer 2

El "negativo recíproco" argumento en el avión es una reafirmación de la más natural producto escalar condición. En el plano una línea que tiene un vector de dirección: puede ser escrita como $$ (x,y) = (a,b) + t(m_x, m_y) . $$ La pendiente cuando la línea no es paralelo a la $y$=eje, a continuación, $m_y/m_x$.

Ahora la afirmación de que el producto de dos pistas de es $-1$ es equivalente a la afirmación de que el producto escalar de los dos vectores de dirección es $0$.