En un cierto nivel, un $\infty$grupo $G$ no es tan diferente de los grupos a los que están acostumbrados. $G$ tiene un espacio subyacente, análoga a la del conjunto subyacente de un grupo, una unidad de $e:*\to G$, una multiplicación $m:G\times G\to G$, y una inversión de mapa de $i:G\to G$. Donde las cosas comienzan a ponerse interesantes es el sentido en el que estas operaciones satisfacer el grupo de axiomas. No es cierto que $m(m(g_1,g_2),g_3)=m(g_1,m(g_2,g_3))$; por el contrario, este axioma de asociatividad se convierte en otra pieza de la estructura, un asociador mapa de $a:G\times G\times G\times I\to G$ dando un homotopy entre los dos lados de la ecuación anterior. Del mismo modo, tenemos que introducir "unitors" la sustitución de las ecuaciones $m(g,e)=g$ e $m(e,g)=g$ con homotopies, y de manera similar a las ecuaciones que involucran a la inversa. Además, esto no es todo! De hecho, un grupo satisface muchas más ecuaciones que en el habitual axiomatization. Por ejemplo, hay cinco maneras diferentes de los paréntesis de cuatro letras: $g_1(g_2(g_3g_4)),(g_1g_2)(g_3g_4),((g_1g_2)g_3)g_4),(g_1(g_2g_3))g_4,$ e $g_1((g_2g_3)g_4)$. En un grupo, estos son todos iguales, y esto se deduce del axioma de asociatividad. En una $\infty$-grupo, hemos homotopies entre estos cinco parenthesizations, interpretado como mapas de $G^4\to G$. De hecho, podemos pegar estos homotopies juntos en un mapa de $G^4\times \partial P\to G$, donde $P$ es un pentágono regular en el plano. Nos gustaría saber lo que no es, en esencia, sólo una manera de asociar dos productos en uno al otro-sería una mala generalización de la teoría de grupo si podemos seguir a un trivial de bucle en $G$ simplemente asociar una palabra de nuevo a sí mismo en algunos complicada secuencia! Por lo tanto parte de la estructura de una $\infty$-grupo es una extensión de el mapa de arriba a la pentagonator $\pi:G^4\times P\to G$.
Y no hemos terminado todavía. De hecho, hay infinitamente muchos niveles de la estructura necesaria para describir todas las formas de asociar más y más palabras, y los espacios de los que se $I$ para el asociador y $P$ para el pentagonator seguir creciendo en dimensión y complejidad combinatoria. Stasheff dio la primera descripción completa de esta parte de la estructura de una $\infty$-grupo, lo que él llama una $A_\infty$-espacio, un espacio con una multiplicación que es Asociativa, hasta un homotopy que está bien definido hasta un homotopy que está bien definido...Stasheff original de documentos son una excelente lectura sobre este tema.
El nLab del grupo de "objeto" en un $\infty$-categoría está estrechamente relacionada con la Stasheff la noción de $A_\infty$-espacio y de manera similar a la primaria de la noción de un grupo. El "simplical objeto en un $\infty$-categoría" que es la estructura subyacente de un grupo de objetos que se supone para representar el grupo $G$ junto con todos sus finita de potencias $G^n$ (incluyendo $n=0$), mientras que el simplicial cara mapas corresponden a las proyecciones canónicas entre $G^n$ e $G^m$, las degeneraciones corresponden a diferentes formas de asignación de $G^m$ a $G^n$ mediante la inserción de copias de la unidad, y los diversos pullback plazas hábilmente codificar la multiplicación, y la inversa, y todos los de la torre infinita de homotopies testigos de los axiomas como en el párrafo anterior. Esto también está estrechamente conectado a Lawvere la perspectiva de los grupos: un modelo de la Lawvere la teoría de grupos en categoría $C$ es exactamente todas las cosas que acabo de decir, excepto que la homotopies se le permitió de nuevo a ser ecuaciones. Así que no es diferente de un grupo ordinario de objeto, excepto en la medida en que no se elige particular, las operaciones y los axiomas como privilegiada.
Este es un poco más complicada estructura! Una gran cantidad de trabajo en los últimos cincuenta años de la topología algebraica ha sido sobre la mejor forma de entender estos objetos. Un teorema fundamental es que un $A_\infty$-espacio tiene un delooping si y sólo si es realmente una $\infty$-grupo: tener un delooping significa que es homotopy equivalente a la de espacio de base de bucles en algunos señalaron conectado el espacio, que es el único hasta homotopy de equivalencia. Y un mapa de $\infty$-grupos, es decir, algún tipo de homomorphism adecuadamente la preservación de todo el lío enorme de la estructura para un gran número de homotopies, no es nada más que un mapa de su deloopings. (Esta afirmación es un poco más limpio que el de la realidad, pero está cerca.) Esta es la equivalencia entre el $\infty$-grupos y señaló objetos conectados que usted menciona. Este tiene menos de un evidente analógica a la ordinaria de la teoría de grupo, pero sigue allí: es simplemente el conocido perversa definición de un grupo como un groupoid con un solo objeto. La razón de la equivalencia es mucho más interesante en $\infty$-categoría teoría es que la punta conectada $\infty$-groupoids, es decir, señaló espacios conectados, generalmente no son definidos con algebraicas de las operaciones de composición y de inversión de los bucles, así que mucho menos de la estructura tiene que ser transportado en la definición de ellos y, en particular, sus mapas. Otra simplificación es que todos los $\infty$-grupo es, apropiadamente, equivalente a la geométrica realización de un simplicial grupo, es decir, completamente ordinario, grupo de objetos en el ordinario de la categoría de simplicial conjuntos. Al menos la equivalencia entre señaló espacios conectados y simplicial grupos es el más antiguo de todos estos resultados se remonta a Kan, en la década de los '60.
De todos modos, esperemos que se da un poco más de idea de lo que está pasando. Hay muchos enfoques para el concepto, en gran parte debido a que todos los enfoques vuelto insoportablemente complicado de una manera o de otra. Esta situación es característica de $\infty$-categoría de teoría, y en el estado actual del conocimiento parece inevitable que la anexión de "$\infty$" a un objeto familiar que crea importantes complicaciones.
