Formas cerradas de$\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin(\alpha\phi)}{\sin(\phi)}d\phi$ y$\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\theta)}{\cos(\beta\theta)}d\theta$

Question

Recientemente he mirado en las dos integrales:$$S(\alpha)=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin(\alpha\phi)}{\sin(\phi)}d\phi$$

$$C(\beta)=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\theta)}{\cos(\beta\theta)}d\theta, -1\le\beta\le1$$

Me di cuenta de que $S(2n+1)=\frac{\pi}{2}$ y que $S(2n)\in\Bbb Q$. Sin embargo, yo no podía entender mucho acerca de $C(\beta)$. Podrían estas integrales' formas cerradas se derivan con el de Weierstrass de la Mitad del Ángulo de la Tangente a la Sustitución? O es que hay otro método para la evaluación de estas integrales?

EDIT: parece Que $C(\frac{1}{2n+1})$ es expresable en términos de $\pi$ cuadrática y irrationals, y $C(\frac{1}{2n})$ es expresable en términos de hiperbólico tangente y cuadrática irrationals.

Answer 1

Sugerencia: podemos considerar las siguientes fórmulas:

$$I=\int^{\pi/2}_0 \sin ^n x dx=\int^{\pi/2}_0 \cos ^n x dx=\frac{1.3.5. . .(n-1)}{2.4.6............n}\frac{\pi}{2}$$; if $n>=2$ es par.

$$I=\int^{\pi/2}_0 \sin ^n x dx=\int^{\pi/2}_0 \cos ^n x dx=\frac{2.4.6. . .(n-1)}{3.5.7............n}$$; if $n>=3$ es impar.

Podemos ver que $\sin nx$ es un múltiplo de a$\sin x$ por ejemplo:

$$\sin 8x=\sin x(128 \cos^7 x-192 \cos^5 x +80 \cos^3 x-8 \cos x)$$

$$\sin 9x=\sin x(256 \cos^8x-448\cos^6 x+240 \cos^4 x-40\cos^2 x +1)$$

También se $\cos nx$ es un múltiplo de a$\cos x$ por ejemplo:

$$\cos 9x=\cos x(266\sin^8x-448\sin^6 x+240 \sin^4 x -40 \sin^2 x +1)$$

Ahora, debido a sus resultados, y considerando término con mayor potencia y descuidando su coeficiente en estas fórmulas podemos concluir:

$$I=\int^{\pi/2}_0 \frac{\sin (2k+1) x}{\sin x}dx ≈\int^{\pi/2}_0 \cos ^{2k} x dx≈\frac{1.3.5. . .(2k-1)}{2.4.6...2k}\frac{\pi}{2}$$

$$I=\int^{\pi/2}_0 \frac{\sin 2k x}{\sin x}dx ≈\int^{\pi/2}_0 \cos ^{2k+1} x dx≈\frac{2.4.6. . .2k}{3.5.7........(2k+1)}$$

Para la segunda integral de la $-1=< \beta=<1$, supongamos $\beta=\frac{1}{a}$; a es un número entero y $\beta x=\frac{1}{a} x=t$ entonces $x=at$ y tenemos:

$$I=\int^{\pi/2}_0 \frac{\cos x}{\cos \beta x}dx =a\int^{\pi\beta/2}_0 \frac{\cos at}{\cos t}dt≈a\int^{\pi\beta/2}_0 \sin ^{2k} t dt≈a\frac{1.3.5. . .(2k-1)}{2.4.6........2k}\frac{\pi\beta}{2}≈\frac{1.3.5. . .(2k-1)}{2.4.6........2k}\frac{\pi}{2}$$, if a is odd $2k+1$.

$$I=\int^{\pi/2}_0 \frac{\cos x}{\cos \beta x}dx =a\int^{\pi\beta/2}_0 \frac{\cos at}{\cos t}dt≈a\int^{\pi\beta/2}_0 \sin ^{2k} t dt≈a\frac{2.4.6. . .2k}{3.5.7........(2k+1)}$$, if a is even $2k$.