1-cocycles algebraicas y Galois gerbs

Question

Tenemos la siguiente configuración: $K/F$ es de Galois, $D$ algebraica de grupo de mult. tipo y $E$ es una extensión de los grupos: $$1\to D(K)\to E\to Gal(K/F)\to 1$$ Ahora tome un algebraicas lineales grupo G sobre F. algebraica 1-cocycle es un mapa de $w \mapsto x_w$ de $E$ a $G(K)$ s.t. $x_{w_1 w_2}= x_{w_1} w_1(x_{w_2})$, donde $E$ actúa en $G(K)$ través $E\to Gal(K/F)$.

Además, tenemos una Galois de acción en morfismos $v:D(K)\to G(K)$ través $\sigma(v)(d)=\sigma(v(\sigma^{-1}(d))$ (cf aquí la sección 2.2/2.3 para más detalles).

En el documento mencionado se afirma entonces que para $w\in E$ que se asigna a $\sigma$ $$x_w\cdot\sigma(v)\cdot (x_w)^{-1}=v$$ como cosequence de la cocycle condición. Aquí $v$ es la restricción de la cocycle a $D$ (es decir, $v(d)=x_d$).

Pero mi cálculo sólo me da: $$(x_w\cdot\sigma(v)\cdot (x_w)^{-1})(d)=x_w\cdot\sigma(x_{\sigma^{-1}(d)})\cdot (x_w)^{-1}=x_{w\sigma^{-1}(d)}\cdot \sigma( x_{w^{-1}}) =x_{w\sigma^{-1}(d)w^{-1}}$$ y yo no soy capaz de concluir el resultado deseado.

Answer 1

A mí me parece que Kottwitz la revisión de la noción de Galois gerb utilizado por Langlands y Rapoport no estaba destinado a ser completamente autónomo, y que estaba destinado sólo para resaltar las diferencias de naturaleza técnica. En particular---aunque no examinar este punto---para cualquier Galois gerb $E$, la inducida por la conjugación de la acción de $G(K/F)$ a $D(K)$ es necesario para que coincida con el estándar de Galois de acción. En otras palabras, dado un elemento $w$ en $E$ que se asigna a $\sigma$ en $G(K/F)$, se requiere que $$wdw^{-1} = \sigma(d)$$ for all $d$ in $D(K)$. Here the left-hand side is conjugation in the group $E$, while the right-hand side is the standard Galois action of $\sigma$ on $D(K)$. El requisito de que la igualdad se mantenga, es parte de la definición de Galois gerb.

Por esta razón, el subíndice $$w\sigma^{-1}(d)w^{-1}$$ occurring at the far right end of your calculation simplifies to $d$.