Equicontinuity de la imagen de un conjunto de funciones bajo un operador Integral.

Question

Deje $X = C([0,1])$ ser el espacio de Banach de funciones continuas en $[0,1]$ (con el supremum de la norma) y definir un mapa de $F:X\rightarrow X$por $$F(f)(x)=\int^{x}_{0} \cos(f(t)^{2})dt, \space x \in [0; 1].$$ Mostrar que $FX=\{F(f):f \in X \} \subset X$ es relativamente compacto.

Este viene a ser el uso de la Arzela-Ascoli Teorema. Me han demostrado pointwise acotamiento. Estoy atascado en mostrar equicontinuity. Hasta ahora he probado los siguientes $$\begin{align} |(F(f)-F(g))(x)| &= \Big{|} \int^{x}_{0} \cos(f(t)^{2}-\cos(g(t)^{2}) dt \Big{|} \\ &\leq \int^{x}_{0}| \cos(f(t)^{2})-\cos(g(t)^{2})| dt\\ &= \int^{x}_{0} \Big|f(t)^{2}-g(t)^{2}| dt \end{align}.$$

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Estoy atascado en este punto, ya no sé cómo limitar el plazo dentro de la integral. Consejos sobre cómo proceder a partir de aquí, o si este enfoque es correcto, y si es así, cual es el método a seguir? Gracias de antemano.

Answer 1

Yo creo que el uso de Arzela-Ascoli es el enfoque correcto aquí. Pero vamos a pensar un poco más cuidadosamente acerca de lo que necesitamos para aplicar Arzela-Ascoli...

(1) Uniforme de acotamiento. Debemos mostrar que existe una $M \geq 0$ tales que $$ \left| \int_0^x \cos (f(t)^2) dt \right| \leq M$$ para cualquier $f \in C([0,1])$ y cualquier $x \in [0, 1]$.

Esperemos que se debe tener claro que esto funciona con $M = 1$. Usted puede verificar esto mediante la observación de que $| \cos(f(t)^2) | \leq 1$ cualquier $f \in C([0,1])$ y cualquier $t \in [0,1]$.

(2) Equicontinuity. Debemos demostrar que, para cualquier $\epsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tales que $$ | x - y | < \delta \implies \left| \int_x^y \cos (f(t)^2) dt \right| < \epsilon $$ para cualquier $f \in C([0,1])$ y cualquier $x, y \in [0,1]$.

Creo que esto funciona con $\delta = \epsilon$. De nuevo, le gustaría probar esto con el hecho de que $| \cos(f(t)^2) | \leq 1$ cualquier $f \in C([0,1])$ y cualquier $t \in [0,1]$...