Demuestra que $\lim_{k\to\infty}\lim_{j\to\infty}\cos^{2j}k!\pi x=0$

Question

La función Dirichlet se define como la función indicadora de los números racionales. También he visto esta función descrita por: $$f(x)=\lim_{k\to\infty}\lim_{j\to\infty}\cos^{2j}k!\pi x$$ ¿Cómo actúa este límite como indicador, y cómo da una respuesta si el coseno está limitado al infinito?

Answer 1

Supongamos que $x$ es racional y $x=\frac pq$ para $\gcd(p,q)=1$ . Si $k\ge q$ , $k!x$ será un número entero, por lo que $\cos k!\pi x=\pm1$ y $\cos^{2j}k!\pi x=1$ . Por lo tanto, la función es 1 para un tamaño suficientemente grande $k,j$ por lo que se evalúa como 1.

Supongamos que $x$ es irracional, entonces $k!x$ nunca será un número entero, por lo que $|\cos k!\pi x|<1$ para todos $k$ . Como $j\to\infty$ Esta variable, al estar en el exponente, da como resultado $\cos^{2j}k!\pi x\to0$ por lo que la función se evalúa a 0.