Cómo probar $\frac{1}{2n+2}<\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^nx\,dx<\frac{1}{2n}$

Question

Cómo probar <span class="math-container">$$\frac{1}{2n+2} Set <span class="math-container">$A_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^nx\,dx$</span>, entonces tenemos <span class="math-container">$An+A{n+2}=\frac{1}{n+1}$</span> y tenemos <span class="math-container">$A_{n+2} , para que podamos conseguir <span class="math-container">$$\frac{1}{2n+2} pero cómo demostrar que<span class="math-container">$$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^nx\,dx </span></span></span></span>

Answer 1

Cambio de variable a $t = \tan x$, tenemos

$$I_n \stackrel{def}{=}\int_0^{\pi/4} \tan^n x dx = \int_0^1 \frac{t^n}{1+t^2} dt$$

Aviso para $t \in (0,1)$, tenemos $\frac{1 + t^2}{2} < 1$. Esto implica

$$I_n > \int_0^1 \frac{t^n}{1+t^2}\cdot\frac{1+t^2}{2} dt = \frac12\int_0^1 t^n dt = \frac{1}{2(n+1)}$$

En la otra dirección, AM $\ge GM$ nos dicen $t = \sqrt{1 \cdot t^2} \le \frac{1+t^2}{2}$ y la desigualdad es estricta cuando $t \ne 1$. Esto lleva a

$$I_n = \int_0^1 \frac{t^{n-1}}{1+t^2} t dt < \int_0^1 \frac{t^{n-1}}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2}{2} dt = \frac12 \int_0^1 t^{n-1} dt = \frac{1}{2n}$$

Answer 2

Para $n=0$ no hay nada que demostrar. Para $n=1$, esto es $\log\sqrt{2}<\frac12$, lo cual es obviamente cierto.

Tenemos $$ \bronceado^{n+1}x<\frac12(\bronceado^n x+\bronceado^{n+2}x)\text{ para }x\in(0,\pi/4) \etiqueta{1} $$ debido a $y\in\mathbb{R}^+\mapsto c^y\in\mathbb{R}^+$ es estrictamente convexa para $c>0$. Así que usted consigue $A_{n+1}<\frac1{2(n+1)}$, o, equivalentemente, $A_n<\frac1{2n}$.