Ejercicio :
En el espacio, $C[a,b]$ definimos la norma $$\|f\|_2 = \sqrt{\int_a^bf(x)^2\mathrm{d}x}$$ (i) Demostrar que si la secuencia de $(f_n)$ converge a $f$ con respecto al $\| \cdot \|_\infty$, entonces también converge a $f$ con respecto al $\| \cdot \|_2$.
(ii) Es $(C[a,b], \| \cdot \|_2)$ un espacio de Banach ?
Intento :
(i) Deje $(f_n)$ ser una secuencia definida sobre $C[a,b]$ que converge a $f$ con respecto a la norma $\| \cdot \|_\infty$. Entonces, esto significa que $\exists n_0 \in \mathbb N$ :
$$\|f_n-f\|_\infty< e \Leftrightarrow \max_{x \in [a,b]}|f_n(x) - f(x)| < \epsilon \; \forall n \geq n_0$$
Ahora, vamos a considerar la cantidad de $\| f_n - f \|_2$. Este se define como :
$$\|f_n - f\|_2 = \sqrt{\int_a^b (f_n-f)^2(x)\mathrm{d}x}=\sqrt{\int_a^b[f_n(x)-f(x)]^2\mathrm{d}x}$$
Ahora, la última expresión se puede reescribir como :
$$\sqrt{\int_a^b[f_n(x)-f(x)]^2\mathrm{d}x}=\sqrt{\int_a^b |f_n(x) - f(x)|^2\mathrm{d}x}$$
Pero, es :
$$|f_n(x)-f(x)|<\max_{x \in [a,b]}|f_n(x)-f(x)| < \epsilon \; \forall n \geq n_0$$
Ahora, desde la $|f_n(x)-f(x)| \geq 0$ e $\epsilon >0$, nos rendimiento :
$$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|^2 < \epsilon^2 \equiv \epsilon' \; \forall n\geq n_0$$
Y por la integración de $a$ a $b$ desde $f_n, f$ son definidos sobre los $C[a,b]$ :
$$\int_a^b|f_n(x)-f(x)|^2\mathrm{d}x < \int_a^b\epsilon'\mathrm{d}x=\epsilon'(b-a) \equiv \epsilon'' \forall n\geq n_0$$
Por lo tanto, tenemos $\|f_n-f\|_2 < \epsilon'' \; \forall n\geq n_0$, lo que significa que $(f_n)$ converge a $f$ con respecto al $\|\cdot\|_2$ norma.
Pregunta : Es mi enfoque (i) la correcta ? ¿Cómo sería un enfoque (ii) a pesar de que ?
