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Si \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x^2} dx = -\frac{π^2}{\lambda} encuentra\lambda dado que\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{π^2}{6}

Si \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{π^2}{6} then \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x^2} dx = -\frac{π^2}{\lambda} then the value of \lambda es igual?

Mi intento- he intentado usando integración por partes la integral. Como resultado, me quedo con -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{x} dx Ahora estoy atascado aquí! No sé cómo pasar de aquí! O tal vez la integración por partes fue una mala opción? Si es así, por favor me guía a una solución o me ayuda por Favor sobre cómo continuar a partir de aquí! Cualquier ayuda se agradece.

6voto

Roger Hoover Puntos 56

Naaah Desde \frac{1}{1-x^2}=1+x^2+x^4+\ldots sobre (0,1) y \int_{0}^{1}x^{2n}\log(x)\,dx = -\frac{1}{(2n+1)^2} ,

$$ \int_{0}^{1}\frac{\log x}{1-x^2}\,dx = -\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^2} = -\left[\zeta(2)-\tfrac{1}{4}\zeta(2)\right] y \lambda=\color{red}{8} .

3voto

Dana Puntos 51

Use la expansión $$\ln\frac{1+x}{1-x}=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots\right) luego \begin{align} -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{\ln\frac{1+x}{1-x}}{x} dx &= -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \dfrac1x2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots\right) dx \\ &= -\left(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots\right) \\ &= \color{blue}{-\dfrac{\pi^2}{8}} \end {align}

2voto

AlanSE Puntos 183

Por otro enfoque, tome f(x)=x^2 a [0,2\pi] y se extienden de forma periódica. Entonces la serie de Fourier para f converge a \frac{1}{2}(\text{jump}) donde "saltar" es el valor de la diferencia de la izquierda y la mano derecha como límite x\to 2\pi. Para esta f, saltar=4\pi^2. Por lo tanto, tenemos, después de la computación de la serie de Fourier para f y la sustitución de x=2\pi,

\frac{4\pi^{2}}{3}+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{4\cos(2\pi n)}{n^2}=2\pi^2\Rightarrow\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^{2}}{6}

2voto

Dr. MV Puntos 34555

Primero usamos parcial fracción de expansión para escribir

\begin{align} \int_0^1 \frac{\log(x)}{1-x^2}\,dx&=\frac12\int_0^1 \frac{\log(x)}{1-x}\,dx-\frac12\int_0^1 \frac{\log(x)}{1+x}\,dx\tag1 \end{align}

Siguiente, la aplicación de la sustitución de x\mapsto x^2 revela

\begin{align} \int_0^1 \frac{\log(x)}{1-x}\,dx&=\int_0^1 \frac{\log(x^2)}{1-x^2}\,2x\,dx\\\\ &=2\int_0^1 \frac{\log(x)}{1-x}\,dx+2\int_0^1 \frac{\log(x)}{1+x}\,dx \tag2 \end{align}

dónde podemos encontrar desde (2) que

\int_0^1 \frac{\log(x)}{1+x}\,dx=-\frac12\int_0^1 \frac{\log(x)}{1-x}\,dx\tag3

Sustituyendo (3) a (1) obtenemos

\begin{align} \int_0^1 \frac{\log(x)}{1-x^2}\,dx&=\frac34 \int_0^1 \frac{\log(x)}{1-x}\,dx\\\\ &=\frac34 \int_0^1 \frac{\log(1-x)}{x}\,dx\\\\ &=\frac34\int_0^1 \frac{-\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}}{x}\,dx\\\\ &=-\frac34\sum_{n=1}^\infty\frac1n \int_0^1 x^{n-1}\,dx\\\\ &=-\frac34\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\\\\ &-\frac{\pi^2}{8} \end{align}

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