Demostrar la desigualdad siguiente:

Question

Demuestre que $(\frac{2a}{b+c})^\frac{2}{3}+(\frac{2b}{a+c})^\frac{2}{3}+(\frac{2c}{a+b})^\frac{2}{3} ≥ 3$ Lo que intenté fue usar AM-GM para el lado izquierdo de esta desigualdad, lo que obtuve fue $3(\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)})^\frac{2}{9}≥ 3$ y $(\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)})^\frac{2}{9}≥ 1$ o solo $\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}≥ 1$ , pero esto no es no es cierto

Answer 1

Por AM-GM $$\sum_{cyc}\left(\frac{2a}{b+c}\right)^{\frac{2}{3}}=\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\frac{b+c}{2a}\right)^2\cdot1}}\geq\sum_{cyc}\frac{1}{\frac{\frac{b+c}{2a}+\frac{b+c}{2a}+1}{3}}=\sum_{cyc}\frac{3a}{a+b+c}=3.

Answer 2

Insinuación:

WLOG puede establecer $a+b+c=3$ y mostrar en su lugar que para $x\in[0,3]$ , $$\left(\frac{2x}{3-x}\right)^{2/3}\geqslant x

Pero esto es equivalente a lo obvio $x^2(4-x)(x-1)^2\geqslant0$ .