Deje $(x,t) \in \mathbb{R}^2$, $W(x)$ ser (lo suficientemente suave) con un valor real de la función y considere la siguiente ecuación diferencial parcial para el valor real de la función de $U(x,t)$ \begin{equation} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = - \frac{\hbar^2}{4 m^2} \frac{\partial^4 U}{\partial x^4}+ \frac{W}{m} \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} +\frac{W'}{m} \frac{\partial U}{\partial x} + \left( \frac{W''}{2m} - \frac{W^2}{\hbar^2} \right) U \qquad (I), \end{equation} donde $m$ e $\hbar$ son constantes positivas.
En el siguiente vamos a ser muy descuidado, y vamos a suponer que (lo suficientemente suave) condiciones iniciales $U(x,0)$ e $\frac{\partial U}{\partial t}(x,0)$ (mentir en algo de espacio), existe una única (lo suficientemente suave) solución de $U$ (mentir en algo de espacio) a (I). Vamos a llamar al conjunto de soluciones de $\mathcal{E}$.
Deje $D_{x}^m F$ ser el conjunto de todas las derivadas parciales de $F$ con respecto al $x$ a partir de la orden de 1 a fin de $m$. Me pregunto si existen (lo suficientemente suave) con un valor real de las funciones de $p \geq 0$ e $j$ tales que, mediante el establecimiento de \begin{equation} P(x,t)=p \left(U(x,t),(D_{x}^m U)(x,t), \frac{\partial U}{\partial t}(x,t), \left(D_{x}^{m} \frac{\partial U}{\partial t}\right)(x,t) \right), \\ J(x,t)=j \left(U(x,t),(D_{x}^m U)(x,t), \frac{\partial U}{\partial t}(x,t), \left(D_{x}^{m} \frac{\partial U}{\partial t}\right)(x,t) \right), \end{equation} las siguientes propiedades:
(i) si $U$ es la solución de (I) correspondiente a una función determinada $W(x)$ y dadas las condiciones iniciales $U(x,0)$ e $\frac{\partial U}{\partial t}(x,0)$, e $\tilde{U}$ es la solución de (I) correspondiente a las mismas condiciones iniciales, pero a $W(x)+c$, $c \in \mathbb{R}$, a continuación, $P(x,t)$ es la misma cuando se calcula para $U$ e $\tilde{U}$;
(ii) para cada $U \in \mathcal{E}$ la siguiente ley de la conservación tiene
\begin{equation} \frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial J}{\partial x}=0; \end{equation}
(iii) $p$ no es la función constante.
La respuesta, creo que debe ser negativo, pero yo no se cómo de "probar": ya que no hemos formulado el problema de un modo riguroso, no podemos esperar para obtener una rigurosa prueba, pero algunos heurística, pero convincente argumento en este sentido.
NOTA (1) de Este problema, como la notación de la muestra, tiene un físico de fondo, y la formulación matemática del problema que doy aquí es mi interpretación personal de un físico de exposición dadas por los grandes del siglo Xx el físico David Bohm en su maravilloso tratado $\mathit{Quantum}$ $\mathit{Theory}$ publicado en 1951. Para todos los detalles físicos acerca de este problema ver mi post Inexistencia de una Probabilidad Real de las Funciones de Onda.
NOTA (2) Bohm física del debate no es muy clara, por lo que se puede admitir matemáticos diferentes interpretaciones. Una simple interpretación de Bohm de la declaración original es el siguiente. Considere la siguiente ecuación \begin{equation} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = - \frac{\hbar^2}{4m^2} \frac{\partial^4 U}{\partial x^4} \qquad{(II)}, \end{equation} y deje $\mathcal{F}$ el conjunto de todos (lo suficientemente suave) de las soluciones de esta ecuación. ¿Existe (lo suficientemente suave) con un valor real de las funciones de $p \geq 0$ e $j$ tales que, mediante el establecimiento de \begin{equation} P(x,t)=p \left(U(x,t),(D_{x}^m U)(x,t), \frac{\partial U}{\partial t}(x,t), \left(D_{x}^{m} \frac{\partial U}{\partial t}\right)(x,t) \right), \\ J(x,t)=j \left(U(x,t),(D_{x}^m U)(x,t), \frac{\partial U}{\partial t}(x,t), \left(D_{x}^{m} \frac{\partial U}{\partial t}\right)(x,t) \right), \end{equation} las siguientes propiedades:
(i) para cada $U \in \mathcal{F}$ hemos \begin{equation} \frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial J}{\partial x}=0; \end{equation}
(ii) para la solución especial $U(x,t)=\cos\left(\sqrt{\frac{2m \omega}{\hbar}}x-\omega t \right)$, $P(x,t)$ es independiente de $\omega > 0$;
(iii) $p$ no es una función constante?
Tal vez este problema matemático es más fácil de ver para tener una respuesta negativa de la que me he formulado anteriormente.
