Relacionados con tarifas cálculo problema trigonométrico

Question

He estado atrapado en esta relacionado con las tasas de problema por un tiempo y ahora no puedo averiguar cómo acercarse a ella. El problema va algo como esto:

El diagrama de arriba muestra dos objetos que se mueven a diferentes velocidades. Ambos objetos son de 0.5 km desde el origen. El azul del objeto se está moviendo a 50 mph. La distancia en línea recta entre el azul del objeto y el objeto rojo está aumentando a una velocidad de 35 mph. Encontrar la velocidad del objeto rojo.

Traté de resolverlo usando el Teorema de Pitágoras y encontrar la derivada de la parte superior del triángulo. De todos modos, que terminó siendo un número negativo, e incluso ignorando el signo, la respuesta que me dieron era evidentemente falso. Sé que la velocidad del objeto rojo es obviamente mayor que el objeto azul debido a que la distancia entre los objetos es cada vez mayor. Yo realmente no sé cómo calcular la magnitud de dicho número. También hay una variante de este problema donde la distancia en línea recta está cambiando a una velocidad de 35mph pero creo que debe ser factible una vez que entender cómo ir sobre la resolución de la original. Cualquier respuesta se agradece!

Answer 1

Deje $a$ ser la distancia del objeto azul desde el origen, $b$ ser el objeto azul y $c=\sqrt{a^2+b^2}$ ser la distancia entre los objetos. Todas estas son funciones del tiempo $t$. $$\frac{\partial c}{\partial t}=\frac{\partial c}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial t}+\frac{\partial c}{\partial b}\frac{\partial b}{\partial t}=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot(-50)+\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot x=35$$ Sustituimos $a=b=0.5$: $$\frac{0.5}{\sqrt{0.25+0.25}}=\sqrt{0.5}$$ $$\sqrt{0.5}(-50+x)=35$$ $$x=\frac{35}{\sqrt{0.5}}+50=99.4975$$ Por lo tanto el objeto rojo se está moviendo en torno a 99.5 mph.

Answer 2

Claramente este es un triángulo rectángulo, por lo que se desea utilizar el Teorema de Pitágoras. Si $a$ es la distancia del objeto rojo desde el origen, y $b$ es la distancia del objeto azul desde el origen, y $c$ es la línea recta, la distancia entre ellos, se tiene:

$$c^2=a^2+b^2$$

A continuación, queremos implícitamente diferenciar ambos lados con respecto al tiempo y resolver para $\frac{da}{dt}$ ya que representa la velocidad de cambio de la cara está determinado por el objeto rojo.

$$2c\frac{dc}{dt}=2a\frac{da}{dt}+2b\frac{db}{dt}$$ $$c\frac{dc}{dt}=a\frac{da}{dt}+b\frac{db}{dt}$$ $$c\frac{dc}{dt}-b\frac{db}{dt}=a\frac{da}{dt}$$ $$\frac{da}{dt}=\frac{c\frac{dc}{dt}-b\frac{db}{dt}}{a}$$

Ahora sólo tenemos que conectar lo que sabemos. Ya sabemos $a=b=0.5$. También sabemos $\frac{db}{dt}=-50$ desde $b$ obtiene más corto como el azul, el objeto se mueve más cerca del origen, y $\frac{dc}{dt}=35$ fue dado. La única cosa que falta es $c$, que podemos encontrar con el Teorema de Pitágoras.

$$c^2=a^2+b^2$$ $$c^2=(0.5)^2+(0.5)^2$$ $$c=\sqrt{0.5}$$

Ahora conectarlo todo. $$\frac{da}{dt}=\frac{\sqrt{0.5} * 35 - 0.5 * (-50)}{0.5}$$ $$\frac{da}{dt} \approx 99.497 \ mph$$

Aquí hay un enlace a un sitio con una explicación más detallada de cómo resolver un problema como este. Es un problema un poco diferente, sino explicar un poco más cómo funciona todo esto.

https://jakesmathlessons.com/derivatives/related-rates/