Estoy tratando de seguir una demostración del Teorema del Valor Intermedio en el libro de texto de análisis real de Ross, pero no entiendo varios de los pasos. Voy a replicar la prueba tanto como pueda (a veces añadiendo detalles adicionales, así que si afirmo algo incorrectamente sin saberlo, por favor dímelo) y me detengo en estas preguntas.
Teorema. Si $f$ es una función continua de valor real en un intervalo $I$ entonces $f$ tiene la propiedad de valor intermedio en $I$ : Siempre que $a, b \in I$ , $a < b$ y $y$ se encuentra entre $f(a)$ y $f(b)$ [es decir, $f(a) < y < f(b)$ o $f(b) < y < f(a)$ ], existe al menos una $x$ sur $(a,b)$ tal que $f(x) = y$ .
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Prueba. Supongamos que $f(a) < y < f(b)$ . Definimos un conjunto $S = \{x \in [a,b]: f(x) < y\}$ . Desde $f(a) < y$ por suposición, $a \in S$ Así que $S$ es no vacía. Además, $[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}$ por definición, por lo que se deduce que $x \leq b, \forall x \in S$ Así que $S$ está limitada por encima por $b$ . Por el axioma de completitud, $S$ tiene un supremacía, $x_0$ . Para cualquier $n \in \mathbb{N}$ , $x_0 - \frac{1}{n} < x_0$ Así que $x_0 - \frac{1}{n}$ no es un límite superior para el conjunto de $S$ por la definición del supremum.
Lo único que me confunde aquí es si podemos afirmar que $x < b$ . Sabemos que $f(b) > y$ Así que $b$ no está en $S$ lo que sugiere que podemos hacer esta afirmación mayor.
Porque $x_0 - \frac{1}{n}$ no es un límite superior de $S$ existe algún elemento en $S$ mayor que ella. Así, por cada $n \in \mathbb{N}$ existe alguna $s_n \in S$ tal que $x_0 - \frac{1}{n} < s_n \leq x_0$ .
Aquí, no estoy completamente seguro de la estrategia. Parece que toma $s_n$ como no un elemento particular de $S$ pero para tratar $S$ como una secuencia (tomamos el límite en el siguiente paso) y luego tomamos $s_n$ para ser una subsecuencia donde creamos un valor para cada número natural. ¿Es esta la manera correcta de pensar en ello?
Por lo tanto, $\lim s_n = x_0$ .
¿Se deduce esto del lema de la compresión? Los límites preservan $\leq$ desigualdades, por lo que $x_0 - \frac{1}{n} < s_n \leq x_0$ implica $\lim \left(x_0 - \frac{1}{n} \right) \leq \lim s_n \leq \lim \left(x_0 \right)$ y que $x_0 \leq \lim s_n \leq x_0$ por lo que por el lema de la compresión $\lim s_n = x_n$ .
Que $f(s_n) < y$ para todos $n \in \mathbb{N}$ y como $f$ es continua, se deduce que $f(x_0) = \lim f(s_n) \leq y$ .
Suponiendo que estoy en lo cierto al pensar que cada $s_n$ es un elemento del conjunto que estamos tratando como una subsecuencia de $S$ (lo que significa que cuando hablamos del límite de $s_n$ estamos hablando de la secuencia, pero cuando decimos $f(s_n) < y$ (estamos hablando de un elemento individual), entonces creo que lo entiendo.
Definir $t_n = \min\left(b, x_0 + \frac{1}{n}\right)$ .
Estoy asumiendo, de nuevo, que esto es una subsecuencia de $S$ .
Observe que $x_0 \leq t_n \leq x_0 + \frac{1}{n}$ .
No entiendo del todo la segunda de estas desigualdades. Si $t_n = b$ , ya que $b$ es un límite superior de $S$ y $x_0$ es su supremacía, se deduce que $x_0 \leq t_n$ , por lo que entiendo esto. Pero $n$ es estrictamente positivo, obviamente, por lo que $x_0 + \frac{1}{n} > x_0$ . Si $x_0 = t_n$ entonces $x_0 + \frac{1}{n} > t_n$ . Supongo que tenemos $t_n = x_0 + \frac{1}{n}$ es $x_0 + \frac{1}{n} < b$ y por lo tanto $t_n = x_0 + \frac{1}{n}$ . ¿Es esto correcto?
Por lo tanto, $\lim t_n = x_0$ .
Supongo que esto también es un resultado del lema del apretón, ¿correcto?
Obsérvese que cada $t_n$ pertenece a $[a,b]$ pero no a $S$ .
Si $t_n = b$ entonces seguramente no pertenece a $S$ desde $f(b) > y$ . ¿Es el argumento adicional entonces que desde $x_0$ es el sumo de $S$ , entonces si $x_0 + \frac{1}{n}$ estaban en $S$ entonces $x_0$ no puede ser su supremum (una contradicción), entonces $x_0 + \frac{1}{n}$ no puede estar en el conjunto? Creo que entiendo por qué $t_n$ no está en $S$ pero no por qué están todavía en $[a,b]$ . Seguramente $b$ está en $[a,b]$ y supongo que en el caso de que $x_0 + \frac{1}{n}$ es mayor que $b$ entonces $t_n = b$ Así que nos quedamos en $[a,b]$ . ¿Es eso correcto?
Por lo tanto, $f(t_n) \geq y$ para todos $n$ . Por lo tanto, ya que $f$ es continua, $f(x_0) = \lim f(t_n) \geq y$ . Desde $f(x_0) \leq y$ y $f(x_0) \geq y$ se deduce que $f(x_0) = y$ . Por lo tanto, $\exists x \in (a,b)$ tal que $f(x) = y$ .
Aquí lo entiendo todo.
Agradecería enormemente cualquier idea sobre los puntos anteriores o sobre algo que se me haya pasado por alto. Gracias de antemano.
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Los miembros de $S$ no forman una secuencia, sino que elegimos algunos miembros específicos de $S$ uno por uno y forman una secuencia $s_n$ . Otro punto es que $t_n\leq x_0+1/n$ es obvio a partir de la definición de $t_n$ .
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También el hecho de que $t_n\notin S$ no está claro, al menos no a partir de la prueba dada. Que se encuentra en $[a, b] $ es trivial. Por ejemplo, puede darse el caso de que $t_n=x_0$ para todos $n$ y no está claro por qué $x_0$ no en $S$ .
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Para ser franco, la prueba es innecesariamente larga y confusa. Sólo hay que tener en cuenta que $x_0=\sup S$ existe y demostrar que $f(x_0)=y$ demostrando que ambos casos $f(x_0)<y$ y $f(x_0)>y$ llevar a la contradicción.