Existencia de una especie de "algebrismo infinito" de los números trascendentales

Question

Dado un número arbitrario, digamos, $\alpha \in \mathbb{C}$ ¿alguien puede suministrar

(a) una razón para la existencia (o inexistencia general) de, o

(b) la ingeniería inversa de

una serie de potencias (convergentes) $f(z) = \sum a_n z^n$ con coeficientes racionales para los que $f(\alpha) = 0$ ? (Este problema es trivial cuando el número en cuestión es algebraico, así que siéntase libre de asumir la trascendencia). Busco un empujón en la dirección correcta; cualquier aportación es bienvenida.

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ejemplo prototípico: $\alpha = \pi$ con $f(z) = \sum \frac{1}{(2n+1)!} z^{2n+1}$ = sin z

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Me imagino que esta pregunta podría ser fácilmente reformulada en varias direcciones diferentes. Por favor, añada las etiquetas apropiadas si sospecha esto también.

Answer 1

De hecho, puedes hacerlo mejor. Supongamos que $\alpha_n$ es una secuencia de números complejos distintos no nulos con $|\alpha_n| \to \infty$ como $n \to \infty$ y $\beta_n$ es cualquier secuencia de números complejos. Por supuesto, una serie de potencias con coeficientes reales satisface $f(\overline{z}) = \overline{f(z)}$ , por lo que requeriré que si $\alpha_n = \overline{\alpha_m}$ entonces $\beta_n = \overline{\beta_m}$ . Entonces hay toda una función $f(z)$ dado por una serie de potencias $f(z) = \sum_{j=0}^\infty c_j z^j$ con todos $c_j$ racional, tal que $f(\alpha_n) = \beta_n$ para todos $n$ .

Obsérvese que por una consecuencia de los teoremas de Weierstrass y Mittag-Lefler, para cualquier secuencia de este tipo $\alpha_n$ y cualquier $N$ hay una función entera que toma valores prescritos en todo $\alpha_n$ y también los valores prescritos para el primer $N$ coeficientes de su serie de Maclaurin.

Empezar con una función entera (garantizada por el teorema citado) $f_0$ tal que $f_0(\alpha_n) = \beta_n$ y $f_0(\overline{\alpha_n}) = \overline{\beta_n}$ para todos $n$ . Desde $(f_0(z) + \overline{f_0(\overline{z}})/2$ satisface las mismas condiciones, podemos suponer $f_0(\overline{z}) = \overline{f_0(z)}$ .
Supongamos que $f_n$ es una función de este tipo en la que además los coeficientes de $c_0, \ldots, c_{n-1}$ de su serie Maclaurin son racionales.
Considere $f_{n+1}(z) = f_n(z) + t g_n(z)$ donde todos $g_n(\alpha_k) = 0$ , $g_n(\overline{z}) = \overline{g_n(z)}$ y la serie Maclaurin de $g_n$ comienza con $z^n$ . Existe un conjunto denso de $t \in \mathbb R$ para el que el coeficiente de $z^n$ en $f_{n+1}(z)$ será racional. Elegiré tal $t$ lo suficientemente pequeño como para que $|t| \max \{|g_n(z)|: |z| \le n\} < 1/n^2$ . Entonces la secuencia $f_n(z)$ converge uniformemente en conjuntos compactos a una función entera $f$ que tiene las propiedades requeridas.

Answer 2

Esto es sencillo para un real arbitrario $r$ . En primer lugar, dejemos que $a_0 = 1$ WLOG. Seleccione $a_1 \in \mathbb{Q}$ para que $|a_0 + a_1 r| < \frac{1}{2}$ (una aproximación racional suficientemente buena a $- \frac{a_0}{r}$ es suficiente). Para cualquier $n$ , si $a_0, ... a_{n-1}$ se han elegido, siempre es posible elegir de forma similar $a_n \in \mathbb{Q}$ para que $$\left| a_0 + a_1 r + ... + a_n r^n \right| < \frac{1}{2^n}.$$

La conclusión es la siguiente. Por supuesto, se puede sustituir $\frac{1}{2^n}$ por una secuencia que decae arbitrariamente hasta $0$ .

Para los complejos $r$ es más complicado; tenga en cuenta que para los puramente imaginarios $r$ el primer paso ya falla. Si alguna potencia entera de $r$ es real, entonces podemos proceder como en el caso anterior; en caso contrario, el argumento es más complicado. Debemos considerar una secuencia creciente $t_n$ de números enteros positivos tales que $r^{t_n}$ tiene una parte imaginaria muy pequeña en relación con su parte real (pero no demasiado pequeña o no podremos cancelar la parte imaginaria de los términos anteriores) y sólo retocar los términos correspondientes $a_{t_n}$ . El resultado deseado es cierto en este caso, pero los detalles son un poco molestos (la observación clave es que la secuencia $\frac{r^n}{|r|^n}$ es denso en el círculo unitario).