¿Intuición sobre el complejo de cotangente?

Question

¿Alguien tiene una respuesta a la pregunta "¿Qué hace la cotangente complejo de medir?"

Algebraicas intuiciones (como "homología mide la distancia de una secuencia es de ser exacta") son tan bienvenidos como el geométrico (como los "homología detecta agujeros"), como son las intuiciones que no es exactamente la respuesta a la pregunta anterior.

En particular: ¿los grados tienen un significado? E. g. si un ideal $I$ en un anillo $A$ es generado por una secuencia regular, la cotangente complejo del cociente de mapa $A\twoheadrightarrow Un/me$ $I/I^2)[-1]$. ¿Por qué vivir en el grado 1?

Answer 1

Primero una corrección: la cotangente complejo de un local completo intersección de la incrustación se concentra en el grado -1, no en el grado 1.

En general, la cotangente complejo de algebraica de espacio puede ser apoyado en arbitraria no positivo grados. La cotangente complejo de Artin de la pila puede ser distinto de cero en el grado 1. Los grados en que la cotangente complejo se concentra implica varias cosas acerca de una de morfismos de esquemas:

es perfecto en grado 0 si y sólo si el mapa es suave;

es perfecto en $[-1,0]$ si y sólo si el mapa es lci;

$H^1 = 0$ si y sólo si es un DM de la pila;

$H^0 = H^1 = 0$ si y sólo si es un etale local de inmersión.

Otras personas que ya se han dicho algunas cosas acerca de la relación a la deformación de la teoría. La cotangente complejo tiene en realidad dos inmediata de las relaciones a la deformación de la teoría: uno a las deformaciones de morfismos y uno a la deformación de los espacios.

En lo que se escribe a continuación, $L_X$ es el absoluto de la cotangente complejo y $L_{X/S}$ es la relativa cotangente complejo.

Si $f : S \X$ es un mapa de esquemas y $S'$ es un cuadrado de cero extensión de $S$ con el ideal $J$, hay una obstrucción a la ampliación de $f$ a $S'$ en el grupo de $Ext^1(f^\ast L_X, J)$. Si esta obstrucción se desvanece, tales extensiones tienen una estructura canónica de un torsor por debajo de los $Ext^0(f^\ast L_X, J)$.

Si $p : X\a S$ es una de morfismos, $S'$ es un cuadrado de cero de extensión con el ideal $J$, y $p^\ast J \rightarrow I$ es un homomorphism de cuasi-coherente con poleas en $X$, entonces el problema de encontrar una plaza de cero extensión de $X$, con ideales de $I$ y un mapa de $X' \S'$ extender $X \a S$ compatible con el mapa en ideales está obstruido por una clase en $Ext^2(L_{X/S}, I)$. Si esta clase es cero, clases de isomorfismo de soluciones de formar un torsor por debajo de los $Ext^1(L_{X/S}, I)$ y isomorphisms entre cualquiera de las dos soluciones de la forma de un torsor por debajo de los $Ext^0(L_{X/S}, I)$.

Answer 2

Una cosa que la cotangente complejo de medidas es qué tipo de deformaciones de un esquema. Las precisas instrucciones están en Observación 5.30 y Teorema 5.31 en Illusie del artículo en "FGA explicado". Aquí está la versión simplificada en la absoluta caso:

Si usted tiene un esquema de $X$ más de $k$, un primer orden de deformación es un espacio de $\mathcal{X}$ más de $k[\epsilon]/(\epsilon)^2$, cuya fibra sobre el único punto de $k[\epsilon]/(\epsilon)^2$ es $X$ de nuevo. Usted puede imaginar $k[\epsilon]/(\epsilon)^2$ como un punto infinitesimal flecha y $\mathcal{X}$ como un infinitesimal engrosamiento de $X$. La cotangente complejo le da información precisa sobre cómo muchos de estos engrosamientos se encuentran: El conjunto de engrosamientos es isomorfo $\mathop{Ext}^1(L_X, \epsilon^2)$.

Ahora supongamos que hemos elegido uno de esos infinitesimal engrosamiento de $\mathcal{X}$ más de $k[\epsilon]/(\epsilon)^2$. No siempre es cierto que se puede entrar y hacer de este engrosamiento en un engrosamiento en la siguiente orden. Si o no usted puede hacer esto se mide precisamente por la cotangente complejo: Hay un mapa que toma como entrada los elegidos engrosamiento de $\mathcal{X}$ y escupe un elemento en $\mathop{Ext}^2(L_X, \epsilon^3)$. Si el elemento en el Ext grupo es cero, usted puede ir al siguiente nivel. Si no es cero, se acabó el juego y su pegada.

Answer 3

Una de las razones por la cotangente complejo debe vivir en el grado 1 en este caso es que siempre se debe pensar en él como un pariente cotangente complejo.

Un general anillo mapa R -> S da lugar a un mapa de absoluta cotangente espacios S ⊗_R Ω_R -> Ω_S en S, y la cotangente complejo debe contener información acerca de algunos de los "derivados" cokernel de este mapa, como una asignación de cilindro de la cadena de complejos. Si el mapa no es surjective en la cotangente espacios (como k -> k[x]), entonces usted tiene una cokernel que viven en el grado cero. Si el mapa no es inyectiva en la cotangente espacios (como k[x] -> k), entonces la correspondencia cilindro debe detectar el núcleo de la mapa en la cotangente espacios en el grado 1.

Los grados tienen un significado en términos de la deformación de la teoría, pero (dicen que en característica cero) los términos no en el grado 1 de mayo de medida de deformaciones para un diferencial álgebra graduada con términos no en grado cero.

Answer 4

Estoy muy contento de que esta pregunta fue publicado, porque actualmente estoy en el proceso de tratar de aprender acerca de la cotangente complejo de mí mismo.

Primero de todos, en la entrada de wikipedia sobre la cotangente complejo es bastante buena, así que usted debe tomar un vistazo si no lo has hecho ya.

Voy a tratar de hacer algunos ingenuos y vagos comentarios sobre la relación de la deformación de la teoría, como Charles ha insinuado. Los dos ejemplos en la parte inferior de la página de la wikipedia, ya instructivo. El primer ejemplo de un cotangente complejo es el de un suave $S$-esquema de $X$. A continuación, la cotangente complejo en este caso es sólo la cotangente del paquete de $\Omega_{X/S}$. Por Kodaira-Spencer teoría, sabemos que la tangente paquete de $T_{X/S}$ tiene mucho que ver con la deformación de la teoría de la $X$. El segundo ejemplo es la cotangente complejo de un sistema cerrado de incrustación de $X\a Y$ lisas $S$-esquemas; es el conormal paquete de $X$ en $Y$. De manera similar a cómo la tangente paquete de $T_{X/S}$ nos dice acerca de las deformaciones de $X$, la normal paquete de $N_{X, Y}$ nos dice acerca de las deformaciones de $X$ dentro $de$ Y. Si miramos por ejemplo, el capítulo 3 de las Deformaciones de la Algebraicas Esquemas, se encuentran las versiones de las vagas declaraciones que he hecho anteriormente. Mi entendimiento es que la cotangente complejo es un lugar general gadget que contiene información acerca de las deformaciones, en particular, trabaja para situaciones donde sus esquemas (o pilas) no necesariamente suave. Una situación de este tipo de interés es de Gromov-Witten teoría, cuando consideramos los módulos de la estabilidad de los mapas, que puede ser muy singular, incluso cuando se la considera como Deligne-Mumford pilas.

Answer 5

Se admiten plano que no sé lo que estoy diciendo, realmente, así que tomarlo con un grano de sal, pero me han dicho (muchas veces) que la cotangente complejo las medidas de la teoría de la deformación de su (variedad, esquema, pila, cualquiera que sea).