Deje $a\in\mathbb Z$ e $a\gt3$. Demostrar que existen infinitamente muchos de los enteros positivos $n$ satisfacción $(n+a)\mid(a^n+1)$.
Este problema fue mencionado por primera vez en este post, así que todos los créditos deben ir a Drona. El autor (erróneamente, creo que pensaron que los dos problemas son equivalentes. Me hizo un comentario acerca de eso, pero pasó desapercibido porque fue la última en una bastante larga cadena. Me preguntó Drona a publicar la pregunta original, pero no saber de él desde entonces. Yo creo que este problema es demasiado interesante para ser sepultado en algún comentario oculto, así que me decidí a publicar aquí.
Es relativamente fácil probar que $a$ e $n$ debe ser coprime. Pero aparte de ese simple hecho no me llego mucho más lejos.
Respuestas
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Ok, así que esto no puede ser una solución adecuada o una solución a todo, pero voy a intentar mi mejor esfuerzo. Lo siento de antemano.
Si $ (a+n)|(a^n+1)$ , a continuación, por división, obtenemos el resto $(-1)^kn^ka^{n-k} +1$ para cada k veces que nos dividen. Cuando nos mantenemos en la división de k se convierte finalmente en $n$. A continuación, el resto se convierte en $(-1)^nn^n+1$. Desde $(a+n)|(a^n+1) \rightarrow (a+n)|((-1)^nn^n+1)$ para que el resto a desaparecer. El término $(-1)^nn^n+1$ es que sólo depende de n, y podemos encontrar sus factores($x$) mayor que $3+n$ donde ellos existen. Luego tenemos a los valores deseados de $n$ por cada $a = x-n$.
Esto no es también una solución adecuada, pero podría ser una buena dirección a seguir. Supongamos $a-1$ no es una potencia de 2 y no es un número primo. Deje $s\geq 3$ ser impar el primer factor de $a-1$ e $r=(a-1)/s \geq 2$. Supongamos que $A=a^{r}+1$ tiene un primer factor de $p$ mayor que $\sqrt{A}$. A continuación, $p>\sqrt{A}>a$. Pretendemos que $n+a \mid a^n+1$, donde $n=p-a>0$. Uno tiene, por Fermat poco teorema, que $$a^n+1 \equiv a^{p-a}+1 \equiv a^{1-a}(a^{a-1}+1) \equiv a^{1-a}(a^{r}+1)B \equiv 0 \pmod p,$$ para algunos entero $B$.
La probabilidad de que un número $A$ tener un factor primo mayor que $\sqrt{A}$ es $\log 2$. Así que este argumento demuestra la reivindicación de al menos el 30 por ciento de los números.
