Teoría de la martingala: colección de ejemplos y contraejemplos.

Question

El objetivo de esta pregunta es recoger interesantes ejemplos y contraejemplos en la martingala de la teoría. Hay una gran variedad de tales (contador)ejemplos disponibles aquí en StackExchange, pero siempre tengo un tiempo difícil cuando se trato de localizar a un ejemplo específico en cuestión. Creo que sería un beneficio para hacer de este conocimiento es más fácil acceso. Por esta razón, me gustaría crear un (gran) lista con las referencias a temas relacionados con la.

Martingala teoría es un tema amplio, y por lo tanto le sugiero a centrarse en tiempo discreto de martingales $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Soy consciente de que este es todavía un muy amplio campo. Para hacer esta lista una herramienta útil (por ejemplo, para responder a las preguntas) por favor, asegúrese de dar una breve pero concisa descripción de cada uno (contador)ejemplo de que en su respuesta.

La literatura relacionada con:

• Jordan M. Stoyanov: Contraejemplos en la Probabilidad, de Dover.
• Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel: Contraejemplos en probabilidad y estadística, CRC Press.

Answer 1

la convergencia de los resultados:

• pointwise convergencia de la martingala $M_n$ no implica $\sup_n \mathbb{E}(M_n^+)<\infty$ (esto significa que el recíproco de la martingal teorema de convergencia no es cierto)

• martingala que converge casi seguramente, pero no en $L^1$ (ver también aquí)

• martingala $(M_n)_n$ tal que $M_n \to \infty$ casi seguramente

• no trivial de la martingala que converge casi seguramente a $0$ (ver también aquí)

• martingala que converge en probabilidad, pero no casi seguramente (ver también aquí)

• martingala que converge en distribución, pero no, casi con toda seguridad/de la probabilidad (véase también la Sección 2.2 aquí)

integrabilidad uniforme:

• martingala $(M_n)_n$ para que $M_{\infty} = \lim_n M_n$ existe una.s. pero $\mathbb{E}(M_{\infty} \mid \mathcal{F}_n) \neq M_n$ (ver también aquí; tenga en cuenta que una martingala no puede ser uniformemente integrable y no convergen en $L^1$)

• uniformemente integrable martingala $(M_n)_n$ tal que $\mathbb{E}\left( \sup_{n \in \mathbb{N}} |M_n| \right) = \infty$.

ejemplo de ruta de comportamiento:

• oscilante de martingala con delimitada la muestra caminos

• no trivial de la martingala, que es constante, con probabilidad positiva

Los tiempos de parada (Opcional de frenado/teorema de muestreo):

• martingala $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ y el tiempo de paro $\tau$ tal que $\mathbb{E}(M_{\tau}) \neq \mathbb{E}(M_0)$

• martingala $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ y el tiempo de paro $\tau$ tal que $M_{n \wedge \tau} \to M_{\tau}$ casi seguramente, pero no en $L^1$ (véase la primera parte de la vinculada de respuesta)

• martingala $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ y el tiempo de paro $\tau$ tal que $\tau<\infty$ casi seguramente y $\mathbb{E}(\tau)=\infty$

Otros

• proceso estocástico $(M_n)_n$ que satisface $\mathbb{E}(M_{n+1} \mid M_n) = M_n$ para todos los $n$ pero que no es una martingala

• martingala que no está delimitado en $L^1$