Demostrar que $\sqrt[3]{5} + \sqrt{2}$ es irracional

Question

Lo he intentado tanto con la cuadratura como con la cubicación del enunciado, se ha hecho un lío, aquí está mi último intento:

Supongamos que se trata de una contradicción: $\sqrt[3]{5} + \sqrt{2}$ es racional

$\sqrt[3]{5} + \sqrt{2}$ = $\frac{a}{b}$ $a,b$ son enteros Impares $> 0$ y $ b\neq 0$

${(\sqrt[3]{5} + \sqrt{2})}^3$ = $\frac{a^3}{b^3}$

multiplicando por $b^3$ :

${(\sqrt[3]{5} + \sqrt{2})}^3 \times b^3 $ = ${a^3}$

Así que..: $a^3$ es divisible por ${(\sqrt[3]{5} + \sqrt{2})}^3$ lo que significa $a$ es divisible por ${(\sqrt[3]{5} + \sqrt{2})}$

haciendo lo mismo con $b$ he encontrado :

$\frac{a^3}{{(\sqrt[3]{5} + \sqrt{2})}^3} $ = ${b^3}$

Así que..: $b^3$ es divisible por ${(\sqrt[3]{5} + \sqrt{2})}^3$ lo que significa $b$ es divisible por ${(\sqrt[3]{5} + \sqrt{2})}$ (mal)

${(\sqrt[3]{5} + \sqrt{2})}$ es un divisor común para ambos $a$ & $b$ que es una contradicción, por lo tanto $\sqrt[3]{5} + \sqrt{2}$ es irracional. (equivocado)

Answer 1

No se puede hacer divisibilidad en números iracionales y racionales. Cuando operas con divisibilidad tienes que tener un número entero. Es una relación definida sobre números enteros.

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Supongamos que es racional, entonces existe el número racional $q$ tal que $$\sqrt[3]{5} + \sqrt{2}= q$$ así que $$ 5 = (q-\sqrt{2})^3 = q^3-3q^2\sqrt{2}+6q-2\sqrt{2}$$

Así que tenemos $$\sqrt{2}(\underbrace{3q^2+2}_{\in\mathbb{Q}}) = \underbrace{q^3+6q-5}_{\in\mathbb{Q}}$$

así que $$\sqrt{2}= \underbrace{q^3+6q-5\over 3q^2+2}_{\in\mathbb{Q}}$$

Una contradicción.

Answer 2

Supongamos que $$ \sqrt[3]{5} + \sqrt{2}=r$$ donde r es un número racional.

Tenemos $$ \sqrt[3]{5} =r-\sqrt{2}$$

Elevar a la tercera potencia para obtener $$5=r^3-3r^2 \sqrt 2 +6r - 2\sqrt 2 $$ Resolver para $\sqrt 2$ obtenemos $$ \sqrt 2 = \frac {5-r^3-6r}{-3r^2-2}$$

El $RHS$ es un número racional imposible.