La conjetura de Goldbach y la función totiente.

Question

Hace un tiempo, yo estaba un poco aburrido, así que decidí parcela el número de maneras en que cada uno incluso podría ser expresado como la suma de dos números primos. Los acontecimientos están en el eje x, y el número de diferentes maneras (donde el pedido no importa) está en el eje.

Este gráfico es muy similar a la de la función totient

Hay una buena explicación por la similitud de estos gráficos? O estoy viendo similitudes donde no hay ninguno?

Actualización

Después de ver a @RobertIsrael la respuesta, me decidí a hacer algo más de ploteo. Esta vez, ha sido coloreada por lo que los múltiplos de 3 son de color verde, los múltiplos de 5 son de color rojo, los múltiplos de 7, de color azul, los múltiplos de 15 son de color amarillo, los múltiplos de 21 son el cian, y múltiplos de 35 magenta, mientras que los múltiplos de 105 son de color gris, etc, etc.

Mi conjetura es que el gráfico de aquí es más similar a $n-\phi(n)$, por lo que parece estar relacionado con el número de divisores $n$ ha. Esto también podría explicar por qué la totient gráfico se ve como un revés de la versión de la Goldbach gráfico.

Answer 1

Parece que los números divisibles por $6$ tienden a tener más representaciones de los $\equiv 2$ o $4 \mod 6$. Esto es así porque si $n = x + y$ con $x <y$ impar y no divisible por $3$, $n \equiv 2 \mod 6$ requiere $x, y \equiv 1 \mod 6$, $n \equiv 4 \mod 6$ requiere $x, y \equiv 5 \mod 6$, pero $n \equiv 0 \mod 6$ puede tienen o $x \equiv 1$, $y \equiv 5$ o $x \equiv 5$, $y \equiv 1 \mod 6$.

Aquí está un gráfico del número de representaciones de los números pares hasta $10000$, con los $\equiv 2\mod 6$ en verde, $4 \mod 6$ en azul, $0\mod 6$ en rojo.

Answer 2

Por la entrada de la Wikipedia en Goldbach, la norma heurística estimar el número de representaciones de $n$ como la suma de dos números primos obras (incluso para $n$):

$$C \frac{n}{\log^2 n} \prod_{p \mid n,\,p\text{ odd}} \frac{p-1}{p-2}.$$

Esto proporciona una base cuantitativa (aunque sólo predijo más que demostrado) para la observación en @RobertIsrael la respuesta de que los números divisibles por $3$ tienen un mayor nivel de Goldbach cuenta: se espera de ellos en el hecho de tener un $2\times$ ventaja. Este patrón se extiende a cada divisor primo impar $p$, y los efectos son acumulativos.

La constante de $C$ es irrelevante a la gráfica, y el $\log^2 n$ denominador representa la suave curva hacia abajo de la Goldbach gráfico y es completamente ajena a los patrones de ramificación visto. Lo que queda es este factor

$$n \prod_{p \mid n,\,p\text{ odd}} \frac{p-1}{p-2}.$$ Podemos comparar esto con la función de Euler que incluso $n$ puede ser escrito

$$\phi(n) = \tfrac12 n \prod_{p \mid n,\,p\text{ odd}} \frac{p-1}{p}.$$

La dependencia en factores primos de a$n$ es casi idéntico, excepto que es "al revés" (es decir, recíproca): uno de los factores es $1-\frac1p$, el otro es $(1-\frac1p)^{-1} (1 + O(1/p^2))$. El efecto acumulativo de las gran-Oh términos es limitada, de modo que será cualitativamente muy similares, con las diferencias más grandes en pequeños números primos $p$.

En lugar de mirar a $n -\phi(n)$, una mejor manera de darle la vuelta al revés sería considerar la posibilidad de $n^2/\phi(n)$. Aún mejor, primero modificar el $\phi$ función para parecerse a la heurística factor de ajuste por

$$\phi'(p^r) = p^r \big(1 - \frac{1}{p-1}\big),$$

en lugar de

$$\phi(p^r) = p^r \big(1 - \frac{1}{p}\big).$$