Supongamos que no estoy contento con el Teorema de reorganización de Riemann. ¿De qué otra forma puedo definir una serie?

Question

He estado explicando la definición de la integral de Reordenamiento del Teorema a un amigo mío, y se sienten como si la definición de la serie utilizando sumas parciales "no funciona" para condicionalmente convergente secuencias. Entiendo cómo se siente: el TSR se siente contra-intuitivo, y entonces el resultado debe ser rechazada como una contradicción y el parcial de la suma definición rechazado.

Sin embargo, la definición de una serie como

$$\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n\to\infty} \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)$$

se siente como el más natural. Si quería añadir una infinidad de números, junto con la mano, esta es la forma en que me iba a tener que hacerlo.

Hay una alternativa (pero no equivalentes) definición de una infinita suma que está de acuerdo con el parcial de la suma de definición en absolutamente convergente de las secuencias, pero donde el TSR no?

Mi conjetura es que si se define un valor para una serie infinita de pactar absolutamente secuencias convergentes, a continuación, este método de definición debe implicar la TSR, pero no veo la manera de que la prueba podría ir.

Answer 1

Supongamos que queremos una noción de summability $\sum'$ tales que

1. (Compatibilidad con absolutamente convergente la serie) $$\sum_{n\geq 1}|a_n|<+\infty\quad\Longrightarrow\quad\sum_{n\geq 1}'|a_n|=\sum_{n\geq 1}|a_n|$$
2. (La compatibilidad con el espacio vectorial de las operaciones y otros supuestos razonables) a condición de que ambos $\sum'a_n$ e $\sum' b_n$ son finitos, $\sum'(a_n+\lambda b_n)=\sum' a_n+\lambda\sum' b_n$. Además $$ \left|\sum' a_n\right|<+\infty\quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to +\infty}a_n=0,$$ $$ a_n>0,\left|\sum' a_n\right|<+\infty\quad\Longrightarrow\quad \sum' a_n>0$$
3. (Negación de Riemann-Dini) a condición de que $\sum_{n\geq 0}'a_n$ es finito, por cualquier bijective $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ $$ \sum_{n\geq 0}'a_n = \sum_{n\geq 0}'a_{\sigma(n)}$$

A continuación, la noción de summability es, precisamente, la noción de absoluto-summability. Suponga que $\sum'a_n$ es finito y $\{a_n\}$ tiene un número infinito de tanto en sentido positivo como negativo. Por $3.$ podemos suponer sin pérdida de generalidad, que el signo de $a_n$ está de acuerdo con la paridad de $n$. Si $\sum a_n$ no es absolutamente convergente, a continuación, $\left|\sum a_{2n}\right|$ o $\left|\sum a_{2n+1}\right|$ es ilimitado (o ambas). Por 2. y 3. ambos $\sum' a_{2n}$ e $\sum' a_{2n+1}$ tiene que ser finito. Suponiendo que $|\sum a_{2n}|$ es ilimitado, por 2. y 3. de nuevo $$ \sum_{n\geq 1}'|a_{2n}|\geq \sum_{n=1}^{N}|a_{2n}| $$ tiene que llevar a cabo para cualquier $N\in\mathbb{N}^+$, pero que implica $\left|\sum' a_{2n}\right|=+\infty.$

Answer 2

En la siguiente definición, el valor de la suma claramente no depende de un orden y esta definición parece al menos hasta cierto punto razonable. (Y también coincide con la habitual convergencia absoluta convergente real secuencias.)

Definición. Deje $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ ser una secuencia de números reales. Decimos que $S$ es la suma de la serie $x_n$, que se denota por $$\sum_{x\in\mathbb N} x_n = S,$$ si y sólo si para cada a$\varepsilon>0$ existe un conjunto finito $F_0\subseteq N$ tal que para todos los conjuntos finitos $F\supseteq F_0$ tenemos $\left| \sum\limits_{n\in F} x_n - S \right| < \varepsilon$. $$(\forall \varepsilon>0) (\exists F_0\text{ finite }) \left(F\text{ is finite and }F\supseteq F_0 \Rightarrow \left| \sum\limits_{n\in F} x_n - S \right| < \varepsilon \right)$$

Vale la pena mencionar que, si se trabaja más con las secuencias en espacios de Banach, entonces la equivalencia entre esta definición y la convergencia absoluta ya no se sostiene. (Convergencia incondicional y absoluta convergencia son equivalentes para las secuencias de los números reales, pero las cosas pueden ser más complicadas si trabajamos con infinito-dimensional espacios.)

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Este es un caso especial de una definición más general que se utiliza a menudo si necesitamos suma más arbitrario conjunto de índices (no necesariamente contables). Esta noción también se menciona en el artículo de Wikipedia sobre la serie en la sección de Sumas sobre arbitraria de conjuntos de índices (versión actual). Hay un par de puestos en este sitio que contiene información básica acerca de esta noción y enlaces a otras referencias. Yo simplemente enlace a mi anterior pregunta relacionada con este tema, ya que en esta pregunta he intentado recoger las entradas en este sitio relacionadas con esta noción: Es la integral de Lebesgue w.r.t. contando medir la misma cosa como la suma (en un conjunto arbitrario)?.

Answer 3

Se podría definir $L$ a ser el infimum del conjunto de todas las sumas de un número finito de términos de la serie (no necesariamente consecutivos términos); y definir $U$ a ser el supremum de la misma serie. A continuación, una serie iba a ser convergente si tanto $L$ e $U$ eran finitos y la suma sería de $U+L$.

Esto equivaldría a la definición de una serie es convergente si y sólo si sus positiva plazo de la subserie y negativo plazo de la subserie cada convergente (en el sentido tradicional) a un valor finito. ($L$ sería la vieja usanza suma de los términos negativos; $U$ de los positivos.)

Answer 4

Sólo para dar otro punto de vista, puede ver las cosas en términos de las integrales. La absoluta summability Jack introdujo de hecho es la mejor manera de ir. En ese caso la suma es la integral de la función $n\mapsto a_n$ con respecto al contar medida en $\mathbb N$. La integral (como una integral de Lebesgue con respecto a la medida de Lebesgue) sólo está definida cuando el valor absoluto es integrable, que en este caso significa, precisamente, que la costumbre suma $\sum_n|a_n|$ es finito.

Que esta integral con respeto a contar medida es la permutación invariante es bastante evidente a partir de la definición de sí mismo. La estructura de orden en el conjunto de $\mathbb N$ no se utiliza en absoluto.