Convergencia de la integral $\int_0^\infty \frac{\sin^2x}{x^2}~\mathrm dx.$

Question

Determine si la integral $$\int_0^\infty \frac{\sin^2x}{x^2}~\mathrm dx$$ converge.

Sé que converge, ya que en general podemos utilizar el análisis complejo, pero me gustaría saber si hay un método más sencillo que no implique números complejos. Pero no se me ocurre una función con la que pueda computar la integral.

Answer 1

Una pista: $$x>1\implies0\le\frac{\sin^2(x)}{x^2}\le\frac1{x^2}\\0<x<1\implies1\le\frac{\sin^2(x)}{x^2}\le\frac1{\cos^2(x)}\le\frac1{\cos^2(1)}$$ El segundo de los dos proviene de la prueba de la derivada de $\sin$ utilizando el teorema del apretón.

Answer 2

Para $x>1$ $$\frac{\sin^2x}{x^2}\le \frac{1}{x^2}$$ y

Para $x<1$ $$ |\sin x|\le |x|\implies \frac{\sin^2 x}{x^2}\le 1.$$ Más información en

$$\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}dx = \int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$$ Juego de pistas $x=2u$ en la última integral y luego proceder a la integración por partes.

Answer 3

Utilizar la integración por partes $$\int_0^\infty \frac{\sin^2(x)}{x^2}dx=\\ -\frac{1}{x}\sin^2(x) |^b_a-\int_{0}^{\infty}-\frac{1}{x}2\sin(x)\cos(x)dx$$ nota que $\lim_{x\to 0}-\frac{1}{x}\sin^2(x)\to 0$ y también $\lim_{x\to \infty}-\frac{1}{x}\sin^2(x)\to 0$ así que $$-\frac{1}{x}\sin^2(x) |^b_a-\int_{0}^{\infty}-\frac{1}{x}2\sin(x)\cos(x)dx=\\0-(-)\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}2\sin(x)\cos(x)dx=\\ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(2x)}{x}dx=\\\frac{\pi}{2}$$ Es bien sabido que $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(ax)}{x}dx=\frac{\pi}{2}$

$\bf{Remark}$ : let:

$$I(t)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} e^{-tx} dx$$

Nota:

$$\frac{\partial}{\partial t} \frac{\sin x}{x} e^{-tx}=\frac{\sin x}{x} e^{-tx}(-x)$$

Así que por diferenciación de parámetro, tenemos

$$I'(t)=-\int_{0}^{\infty} e^{-tx} \sin x dx$$

Y a través de la integración por partes dos veces tenemos:

$$I'(t)=-\frac{1}{t^2+1}$$

Por lo tanto,

$$I(t)=\int -\frac{1}{t^2+1} dt$$

$$I(t)=-\arctan (t) +c$$

cuando $t \to \infty$ , $I(t) \to 0$ Así que..:

$$I(t)=\frac{\pi}{2}-\arctan t$$

Dejemos que $t \to 0^+$ :

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx=\frac{\pi}{2}$$ y la forma general es $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin (ax)}{x} dx=\frac{\pi}{2}$