¿Cómo definir "estar dentro de algo" en el contexto de la topología?

Question

Soy Psicólogo y Neurocientífico con interés en las matemáticas y acabo de empezar a leer sobre Topología. Tengo que decir que no es fácil entender los conceptos sin un ejemplo práctico, así que estoy tratando de entender la topología de una manera práctica (psicológicamente aplicable).

Estaba pensando, por ejemplo, en el concepto de algo que está dentro de otra cosa Como que alguien esté dentro de una casa, que el té esté dentro de una taza o que un círculo más pequeño esté dentro de uno más grande. Los seres humanos pueden identificar esas cosas como si fueran iguales (¿pertenecientes a una clase de equivalencia?), es decir, si le pido a alguien que identifique el objeto que está dentro del otro, toda persona que funcione normalmente será capaz de identificar el objeto que está dentro, sin importar lo diferentes que sean las propiedades (color, tamaño, forma, etc.) de los objetos. Así que debe haber algunas propiedades generales que el cerebro utiliza.

Pero, ¿cómo puedo definir este concepto de estar dentro de otra cosa topológicamente/matemáticamente para que sea aplicable a una amplia gama de objetos?

Y si la cosa se complica aún más. ¿Qué pasa si se incluye un factor de tiempo como poniendo algo dentro de otra cosa . Por ejemplo poner una llave dentro de una cerradura, poner un filete en la sartén, poner comida en una bolsa de la compra asf. Así que aquí se trata de un proceso en el tiempo que debería pertenecer a la misma clase de equivalencia.

¿Cómo se puede definir esto?

Espero que haya quedado claro lo que quiero decir y estoy buscando algunas ideas inspiradoras. También si alguien puede recomendar literatura con énfasis en aplicaciones prácticas, estaría agradecido :).

Answer 1

Las matemáticas se apropian de muchos términos del lenguaje ordinario. Diferentes ramas de las matemáticas se apropian del mismo término de diferentes maneras. Y donde realmente surge la confusión es cuando una rama de las matemáticas -por ejemplo, la topología- depende de otra rama de las matemáticas -por ejemplo, la teoría de conjuntos-, pero esas dos ramas utilizan el término de maneras diferentes.

Su palabra "interior" es así.

La relación teórica de conjuntos $A \subset X$ puede leerse con gran formalidad como " $A$ es un subconjunto de $X$ ", o con poca informalidad como " $A$ está dentro $X$ ".

El teorema de Jordan/Schonflies es un resultado en topología que utiliza la palabra "dentro" de una manera diferente, pero que también utiliza mucha terminología de la teoría de conjuntos, invitando a mucha confusión si uno se aleja del lenguaje más altamente formal. Esto es lo que dice ese teorema en alta formalidad:

• Si $c \subset \mathbb{R}^2$ es homeomorfo al círculo $S^1$ entonces $\mathbb{R}^2-c$ tiene dos componentes, llamados el interior $C_{in}$ y el exterior $C_{out}$ que se distinguen entre sí por la propiedad de que el cierre $\overline C_{in}$ es compacto mientras que el cierre $\overline C_{out}$ es no compacto. Además, existe un homeomorfismo $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ tal que $f(c)$ es igual al círculo unitario $S^1$ , $f(C_{in})$ es la bola unitaria abierta formada por puntos a distancia $<1$ desde el origen, y $f(C_{out})$ es el subconjunto de puntos a la distancia $>1$ desde el origen.

Y, aquí está lo que dice el teorema de Jordan/Schoenflies en baja formalidad (y con pérdida de alguna información):

• Un círculo en el plano tiene dos componentes complementarios, un interior y un exterior. El interior es una bola abierta, cuyo cierre es una bola cerrada que tiene como límite el círculo original.

Entonces, teniendo este teorema en la mano, puedo formular enunciados como tu ejemplo de "este círculo está dentro de ese círculo", recordando que para darle un sentido matemático concreto a la frase puedo recurrir a la versión de alta formalidad del teorema de Jordan/Schoenflies.

Por último, como se sugiere en el comentario de @MarkS, hay un tercer concepto de "interior", todavía diferente, que se ajusta a algunos de los ejemplos de tu pregunta, y que se formula haciendo uso de la primera noción teórica de conjuntos de "interior", a saber, el concepto de subconjunto: Dados subconjuntos $A,X \subset \mathbb{R}^n$ podemos decir que $A$ está dentro $X$ si $A$ es un subconjunto del casco convexo de $X$ .

Answer 2

He aquí una respuesta sencilla (quizá demasiado sencilla). El interior y el exterior son particiones de un espacio de cierto número de dimensiones. La idea informal es que dos puntos cualesquiera "dentro" de una forma pueden estar unidos por una línea continua (no necesariamente recta) que no se cruza con el límite de la forma. Se dice que un punto está "fuera" de la forma si no puede conectarse a un punto que esté "dentro" de la forma sin cruzar el límite de la misma. Hay muchas otras consideraciones que estoy omitiendo, pero ésta es la idea básica.

En realidad, ha utilizado la palabra "dentro" en varios sentidos matemáticos diferentes. Imaginemos un círculo bidimensional que flota en un espacio tridimensional con una línea que lo atraviesa. Podríamos decir informalmente que la línea está "dentro" del círculo, pero el término es sólo eso: informal. Es más correcto decir que el té está "en" una taza de té porque en realidad no está encerrado y sólo el "accidente" de la gravedad lo mantiene allí.

La gente tiende a usar "dentro" para significar algo como: "existe un plano bidimensional en el que la sección transversal del objeto a está dentro de la sección transversal del objeto b". Por ejemplo, si se considera la puerta como un plano bidimensional, la sección transversal de la llave estaría dentro del área definida por el ojo de la cerradura. Espero que quede claro.

El tiempo es otra cosa. Hay formas de pensar en el tiempo de forma geométrica, pero por qué no quedarse en dos o tres dimensiones hasta que uno sienta que lo domina.

Answer 3

Como se ha señalado en otras respuestas, las matemáticas utilizan diferentes nociones de ''interior/exterior'' o ''interior/exterior''. Y probablemente ninguna de ellas capta completamente el significado del lenguaje habitual. Así que, en lugar de partir de las definiciones matemáticas, intento partir del significado intuitivo de ''interior/exterior''. Me parece que la idea de estar dentro o fuera de algo requiere al menos dos condiciones:

1) que tal cosa se inserte en algún ''ambiente'' mayor para que pueda haber un ''exterior'' .

2)Que tiene un ''boudary''

Pongo algún ejemplo: Un círculo (el límite) en un plano (el ambiente) divide el plano en dos componentes no conectados y podemos definir el interior como el componente que contiene el centro del círculo y el exterior como el otro componente. Pero, ¿qué ocurre si el entorno es una esfera (como la Tierra)? Un círculo en una esfera puede tener dos "interiores" que pueden ser difíciles de distinguir: pensemos en el ecuador como círculo, ¿cuál es su interior? Así que parece que la intuición común de ''interior/exterior'' asume (¿inconscientemente?) que el ambiente es isomorfo a un $\mathbb{R}^3$ espacio.

Pero el ejemplo de la taza de té sugiere que este espacio ambiental intuitivo es realmente un espacio físico que tiene una dirección privilegiada arriba-abajo para que el té sea en la copa si es cóncava hacia arriba, pero viene fuera si invertimos la copa.

Ahora bien, ¿cómo podemos definir esas intuiciones de forma matemática? Creo que podemos encontrar los conceptos matemáticos que pueden funcionar mejor en la teoría de variedades topológicas . Aquí los conceptos de componentes conectados, frontera, incrustación en un espacio mayor, ... pueden ser bien definidos (también si no siempre de manera simple).

Si queremos describir el movimiento de algo desde el exterior al interior de un conjunto delimitado por una frontera, tenemos que utilizar alguna función del tiempo, por lo que necesitamos alguna propiedad de continuidad y diferenciabilidad para dicha función y, probablemente, tenemos que trabajar en un colector diferenciable para que podamos encontrar si una línea que representa el movimiento se cruza con la frontera y en qué dirección.

Por último, realmente no sé cómo tratar la existencia de una dirección privilegiada, pero alguien más experto en topología probablemente sepa cómo hacerlo.

Answer 4

La noción de subconjunto de un conjunto puede ser suficiente en muchos casos, pero creo que su pregunta está más relacionada con la definición del dentro de la región definido por un Curva de Jordania que se basa en un resultado difícil (teorema de la curva de Jordan).