Supongamos que $f$ es un morfismo de grupos de Lie, y $df_e\colon T_eG_1\to T_eG_2$ es un mapa suryectivo de los espacios tangentes de dos grupos de Lie, donde $G_2$ está conectado.
Leí que por el Teorema de la Función Inversa, $df_e$ implica que $f$ es suryente hacia una vecindad $U$ de $e$ en $G_2$ . Entonces, como $G_2$ está conectado, es bien sabido que $U$ genera $G_2$ . Desde $U$ es la imagen de $f$ por lo que es un subgrupo, $U=G_2$ y $f$ es suryente.
Mi pregunta es, ¿cómo entra en juego el teorema de la función inversa? Sé que el IFT para las variedades dice que si $df_p\colon T_pM\to T_{f(p)}N$ es invertible, entonces existen nhbds conectados $U\ni p$ y $V\ni f(p)$ tal que $f|U\colon U\to V$ es un difeomorfismo. No veo cómo podemos aplicarlo si $df_e$ sólo se sabe que es sobreyectiva.
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Creo que has olvidado mencionar que $f\colon G_1\to G_2$ es un homomorfismo de Lie. ¿No hay ninguna suposición sobre las dimensiones de $G_1,G_2$ ? Si son iguales, es evidente que se aplica el teorema. En caso contrario, la proposición seguirá siendo cierta, ya que tener el máximo rango es una condición abierta sobre la derivada, aunque hay algún razonamiento implicado.
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En realidad no se utiliza el IFT sino su conclusión: Teorema del rango. Pero tengo algunas preguntas. La primera es $G_1$ ¿compacto? La segunda es $f$ un homomorfismo.
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@tomasz Lo siento, sí $f$ es un morfismo de grupos de Lie. No hay ninguna suposición sobre las dimensiones de $G_i$ . Pensándolo bien, ¿los homomorfismos de grupos de Lie no tienen siempre un rango constante, por lo que si $df_e$ es sobreyectiva, eso implicaría que $f$ es en realidad una inmersión suave, por lo tanto un mapa abierto?
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@gaoxinge $G_1$ no se supone que sea compacto, sino que $f$ es un homomorfismo. En realidad se trata del corolario 2.10 del libro Lie Groups and Lie Algebras de Kirillov, y él menciona el IFT, así que me confundí.