La identidad de Parseval (integral)

Question

Calcule la integral: \begin {ecuación} \int_ {- \pi }^{ \pi } \left | \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {1}{2^{n}}e^{inx} \right |^{2}dx \end {ecuación}

Estoy familiarizado con la identidad de Parseval, que afirma que para cada función compleja continua por pieza $f$ tenemos la igualdad \begin {ecuación} \int_ {- \pi }^{ \pi } \left |f(x) \right |^{2}dx= \frac {|a_{0}|^{2}}{2}+ \sum_ {n=1}^{ \infty } \left (|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2} \right ) \end {ecuación} donde $a_{n}$ y $b_{n}$ son los coeficientes de Fourier de $f$ .

Me siento naturalmente atraído por querer usar este resultado o su compleja variante:

\begin {ecuación} \int_ {- \pi }^{ \pi } \left |f(x) \right |^{2}dx= \sum_ {n \in \mathbb {Z}}|c_{{n}|^{2} \end {ecuación}

donde $c_{n}$ es el complejo coeficiente de Fourier de $f$ .

¿Es esta una pregunta capciosa en la que todo lo que tengo que hacer es tomar $c_{n}= \frac {1}{2^{n}}$ o hay algo más en la obra?

Answer 1

Aquí está cómo,

$$ \int_ {- \pi }^{ \pi } \left | \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {1}{2^{n}}e^{inx} \right |^{2}dx = \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {1}{2^{n}} \sum_ {m=1}^{ \infty } \frac {1}{2^{m}} \int_ {- \pi }^{ \pi } e^{i(n-m)x}dx .$$

Ahora, mira aquí para los detalles y cómo terminar el problema. Anther técnica relacionada .