Demostrar que de tal manera que .

Question

Supongamos que es continua en $f'$ $[a,b]$ y $\epsilon >0$ se da. Demostrar que $\exists\; \delta>0$ tal que % $ $$\left\lvert \frac{f(t)-f(x)}{t-x}-f'(x)\right\rvert

$\forall \;0

¿Cómo resolver este problema desde que se utiliza el argumento de compactación?

Answer 1

Ya que $f'$ es continua podemos escribimos $$f(t)-f(x)=\int_x^tf'(\xi)>d\xi=(t-x)\int_0^1f'\bigl(x+\tau(t-x) \bigr)>d\tau\ ,$ $ y por lo tanto $${f(t)-f(x)\over t-x}-f'(x)=\int_0^1\bigl(f'\bigl(x+\tau(t-x)\bigr) -f'(x)\bigr)>d\tau\qquad(t\ne x)\ .\tag{1}$ $ ahora automáticamente uniformemente continua en $f'$ $[a,b]$. Dado un $\epsilon>0$ por lo tanto podemos encontrar una $\delta>0$ tal que $0

Answer 2

Después de mi Consejo dio en los comentarios:

$f'$ es continua en el intervalo compacto $[a,b]$ y así es uniformemente continua en $[a,b]$.

$\therefore \ \forall \epsilon>0$, $\exists \ \delta>0$, tales que para todos los $x,t\in [a,b]$, tenemos

$$0

Porque es continua en $f'$ $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$, por el teorema del valor medio, existe un $c\in[x,t]$, que

$$\frac {f(t)-f(x)}{t-x}=f'(c)$$

A continuación, la reclamación

$$\bigg| \frac {f(t)-f(x)}{t-x}-f'(t) \bigg|=|f'(c)-f'(t)|

$0