¿Por qué es el infinito sistema del axioma del infinito los números naturales?

Question

¿Por qué es el infinito sistema del axioma del infinito los números naturales?

¿Hay alguna razón tan fue elegido? ¿No podía el axioma rendir un conjunto que se parece por ejemplo $\Bbb R$?

Answer 1

La simplicidad.

El lenguaje de la teoría de conjuntos contiene exactamente un símbolo, que es una relación binaria símbolo. Ese símbolo es $\in$ y se utiliza para representar la relación de pertenencia.

De hecho es lo suficientemente viejo tratamientos, usted encontrará que incluso $=$ es eliminado de la lengua y se agregan a través de los conservadores, además como es definible a partir de $\in$ al asumir el axioma de extensionality.

Ahora también es necesario observar que el conjunto infinito garantizados por el axioma de infinitud no es $\Bbb N$.

1. Es un conjunto inductivo, el cual puede o no ser $\omega$ (el menos infinito ordinal).
2. $\omega$ puede ser utilizado para el modelo de los números naturales internamente a la teoría de conjuntos. Pero también podemos elegir diferentes interpretaciones. Lo importante es que podemos probar que todos ellos son "esencialmente el mismo" (leer: isomorfo).

Entonces, ¿qué es $\Bbb R$? Se podría argumentar que $\Bbb R$ es el único orden lineal, el cual es tanto de Arquímedes y completa. Pero ¿cómo se expresa esto en el lenguaje de la teoría de conjuntos? Usted tendrá que expresar lo que es un orden lineal, lo que significa ser de Arquímedes (que incluirá invariablemente hablando de $\Bbb N$ o $\omega$, por lo tanto, postular su existencia). Y ¿qué significa que es único?

Y usted tendrá que hacer todo este trabajo en sus axiomas. Los axiomas se supone que para ser simple como sea posible. Deben ser casi las definiciones (y algunos dicen que son las definiciones). A partir de los axiomas de $\sf ZFC$ podemos demostrar que podemos interiorizar la lógica de primer orden, definir la semántica de una manera correcta, y de que no existe un único-hasta-para-isomorfismo tal y tal estructura u otra.

Ahora compara esto con el axioma de infinitud que simplemente postula la existencia de un conjunto inductivo. Ni siquiera "existe al menos un conjunto inductivo". Solo la existencia de un conjunto inductivo.

Esta es la simplicidad. Esta es la belleza.

Andrés comentó que podemos postular otro tipo de "conjuntos infinitos" existentes. Podemos postular que existe un conjunto que no es Dedekind-finito, o que hay un conjunto que no es finito utilizando otras fórmulas en las que no se refieren a los números naturales. Pero por lo general estas formulaciones requieren algo así como "inyección" o "juego de poder" o "elemento maximal". Todas esas cosas que nos obligan a primera interpretar los pares ordenados, y qué significa que algo tiene ciertas propiedades. Pero los pares ordenados se puede interpretar de varias maneras diferentes, no sólo el Kuratowski interpretación. Tenga en cuenta que el Reemplazo de los axiomas, que en última instancia, hablar acerca de las funciones, no se refieren a funciones como objetos. Ellos hablan acerca de las fórmulas que definen una "relación funcional", sin hablar del conjunto o clase de los pares ordenados que pueden ser utilizados para definir.

Así que de nuevo a terminar con algo que es más artificial, o más complejo estado, y requiere un esfuerzo adicional de trabajo. Y de nuevo, compare esto con la simplicidad de la siguiente axioma: $$\exists A\bigg(\exists z\big(z\in A\land\forall y(y\notin z)\big)\land\forall x\big(x\in A\rightarrow(\exists z(z\in A\land\forall y(y\in z\leftrightarrow(y\in x\lor y=x))))\big)\bigg)$$ O, si usted prefiere la formulación más simple después de la adición de $\varnothing$ para el lenguaje, y el uso de $\{\}$ notación, $$\exists A(\varnothing\in A\land\forall x(x\in A\rightarrow x\cup\{x\}\in A)).$$

Answer 2

Ningún motivo que no sea de canonicidad. No es difícil ver en presencia de los otros axiomas de teoría determinada que si hay un conjunto infinito, entonces allí es infinito numerable. (Y no es necesario el axioma de la opción para que sea el caso, ver aquí para un sketch corto.)

Answer 3

EDIT. Me perdí el párrafo donde Asaf comentarios brevemente en conjuntos inductivos no necesariamente se $\omega$, pero me gustaría seguir con la observación de que que (infinito) cardenales son inductivos.

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Andrés y Asaf respectivas respuestas son buenas, pero me gustaría añadir una menor de edad, aunque no trivial observación.

El conjunto $A$ (en la notación de Asaf la respuesta) que el Axioma de Infinitud que te da es que no necesariamente el conjunto de los números naturales, o más correctamente, la primera infinito ordinal $\omega$. Usted realmente necesita para separar los números naturales de este conjunto mediante la comprensión (o si se quiere, tomar el cruce de la clase de todos los conjuntos inductivos, es decir, conjuntos de satisfacción de la propiedad atribuidas a $A$ por el axioma).

En realidad, $2^{\aleph_0}$ (el cardenal de $\mathbb{R}$, bajo AC) es inductivo: es un ejemplo de $A$ satisfacer el Axioma de Infinitud.

Answer 4

Para obtener un conjunto que "parece" $\mathbb R$ (en el sentido de tener esa cardinalidad), usted puede tomar $2^A = \text{the set of all subsets of }A$, donde $A$ es infinito numerable. Para mostrar que existe, primero necesita saber que existe un conjunto infinito numerable.