Probabilidad de $n$ único enteros elegidos al azar de $\{ 0, \ldots, n-1 \}$

Question

Para una matriz de rango $n$ llenado con números aleatorios entre 0 (inclusive) a $n$ (excluyente), ¿qué porcentaje de la matriz contiene números únicos?

Pude hacer un programa que intenta calcular esto con ensayos repetidos y terminó con ~ 63.212%.

Mi pregunta es qué ecuación podía calcular esto en mi lugar a repetición de ensayos.

Answer 1

Su número es sospechosamente cerca de $1-1/e$. La fracción de valores representó exactamente $k$ veces en su arreglo de discos debe ser cerca de $\exp(-1)/k!$, por lo que parece su programa contado el número de valores distintos en la matriz, en lugar de la cantidad de valores representados por una sola vez.

Answer 2

Si mi interpretación es correcta hay $n^n$ rellenos de matriz equiprobables, que $n!$ tienen todos los números que ocurren más de una vez.

Para que pueda obtener como respuesta: %#% $ de #% y fórmula de aproximación de Stirling dice que:

$$\frac{n!}{n^n}$$ $n! \sim n^{n+\frac{1}{2}}\sqrt{2\pi} e^{-n}$$ %n consigue más grande.