Si dos funciones están definidas por la misma fórmula, pero tienen codominios diferentes, ¿son iguales?

Question

Se dice que para que dos funciones$f,g$ sean iguales, deben tener el mismo dominio y dominio de código y para cada$x\in X$,$f(x)=g(x)$.

Pero, ¿no deberían las funciones como$f:\Bbb R \to \Bbb C$ donde$f(x)=x^2$ y$g:\Bbb R \to \Bbb R$ donde$g(x)=x^2$ todavía se pueden considerar funciones iguales, por ejemplo? Incluso si el codominio es diferente.

Answer 1

Valdría la pena señalar que a partir de un conjunto teórico punto de vista, la copia de los reales contenidos en los números complejos es no el mismo conjunto como los reales en sus el propios. Son isomorfos, pero diferentes, como conjuntos.

Normalmente nos construcción $\mathbb{C}$ como un par ordenado $(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, y definir la multiplicación de estos pares. Aquí $x$ es la parte real del número complejo y $y$ es la parte imaginaria. Tenemos una natural isométrica de la incrustación de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$$x \mapsto (x,0)$. Por lo tanto, si estamos hablando sobre el número real "$2$"$\mathbb{C}$, estamos realmente hablando sobre el par ordenado $(2,0)$.

Para traerlo de vuelta, las dos funciones se describen: $$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2$$ $$g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}, \quad g(x) = x^2$$ Obviamente $f$ $g$ dar la "misma información" en algún sentido, pero los objetos en la imagen se establece teóricamente distintos, incluso si interactuamos con ellos exactamente de la misma manera.

Answer 2

Algunos autores definen la igualdad de funciones de manera diferente: si los dominios son los mismos y las reglas de asociación son las mismas, las funciones son las mismas. Si es$f(x)=x^2$, pero también escribe$f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, realmente no está ganando mucho. También recuerde lo que realmente es una función, en un nivel matemático fundamental: es un conjunto donde los elementos parecen pares ordenados$(x,f(x))$. Si los conjuntos correspondientes a dos funciones son iguales, las funciones son iguales.