Límite de integral con límites variables de integración

Question

Para una función continua $f$ Demuéstralo:

$$\lim_{x\to0^+}\int_{x}^{2x} \frac{1}{t} f(t) dt = ln(2)f(0)$$

Ya he concluido que como f es continua, por tanto es integrable.Además he supuesto que existe una función $F$ $$F(x)=\int_{x}^{2x} f(s)ds$$ para simplificar la expresión límite mediante integración parcial. Desgraciadamente eso no me dio ninguna solución y estoy atascado.

Answer 1

pista

la sustitución $$t=ux $$ lo hace más fácil.

$$I=\int_1^2 f (ux)\frac {du}{u} $$

utilizar la fórmula de la segunda Media y la continuidad en $x=0$ .

$$I=f (c_x)\int_1^2\frac {du}{u} $$

Hecho.

Answer 2

$$\int_x ^{2x} \frac{1}{t} f(t) dt-\int_x^{2x}\frac{1}{t}f(0)dt=\int_x^{2x}\frac{1}{t}\left(f(t)-f(0)\right)dt$$ Desde $f$ es continua en $0$ dado $\epsilon \gt 0$ hay $\delta \gt 0$ tal que $|x| \lt \delta \implies |f(x)-f(0)| \lt \frac{\epsilon}{\ln 2}$ . Para $|x| \lt \delta$ ya que $|t| \lt |x| \lt \delta$ tenemos $$\left|\int_x^{2x}\frac{1}{t}\left(f(t)-f(0)\right)dt\right| \le \int_x^{2x}\left|\frac{1}{t}\left(f(t)-f(0)\right)\right|dt\lt \frac{\epsilon}{\ln 2}\int_x^{2x}\frac{1}{t}dt=\epsilon$$

Answer 3

Puedes usar épsilons: dado que f es continua, para una $\epsilon $ puede encontrar $ \eta $ tal que para todo $x \leq \eta$ tenemos $ f(0)-\epsilon <=f(x) <= f(0) + \epsilon $ Entonces integras esto (dividido por t) entre x y 2x para x suficientemente pequeño y obtienes un límite entre $ln(2)(f(0) -\epsilon)$ y $ln(2)(f(0) -\epsilon)$