Dimensión de un subespacio cerrado de $C[0,1]$.

Question

Que $X \subset C^1[0,1]$ ser un subespacio cerrado de $C[0,1]$ (norma sup).

Demostrar que $X$ tiene que ser finito dimensional.

Answer 1

Deje $A : V \to \mathrm{C}[0,1]$ el operador $Au=u'$. Con el fin de mostrar que el $A$ es acotado, basta, utilizando Cerrado Gráfico Teorema, para mostrar que, si $$u_n\a u \,\,\&\,\, u_n'\a v,$$ con $\{u_n\}_{n\in\mathbb N}\subset V$,$u\in \mathrm{C}^1[0,1]$$u'=v$. Desde $V$ es subespacio cerrado, a continuación,$u\in V$, por lo tanto $u$ es continuamente diferenciable y $$u_n(x) = u_n(0)+\int_0^x u_n'(t)\,dt \,\\, u_(x) = u(0)+\int_0^x v(t)\,dt,$$ como $n\to\infty$, debido a la convergencia uniforme de la secuencia
$\{u_n^\prime\}_{n\in\mathbb N}$. Mientras tanto, $u_(x) = u(0)+\int_0^x u'(t)\,dt$, y por lo tanto $v=u'$.

El acotamiento de $A$ implica que existe un $c>0$, de tal manera que $$|u'|\le la c|u|, \qquad (\estrellas)$$ para todos los $u\in V$ donde $|\cdot|$ es la norma de la $\mathrm{C}[0,1]$. La desigualdad (\estrella) implica que la unidad de la bola de $V$: $$B_1 \,=\, \{u\V: |u|\le 1\},$$ es equicontinuous, es decir, para cada $u\in B_1$$x,y\in[0,1]$, $$|u(x)-u(y)| \,=\, \Big|\int_x^y u'(t)\,dt\,\Big| \,\le\, c|x-y|,$$ y en virtud de Arzelà–Ascoli Lema $B_1$ es compacto. Por lo tanto $V$ es localmente compacto. Pero es un espacio de Banach (en general, un espacio vectorial topológico) es localmente compacto, entonces tiene dimensión finita.