¿Intuitivo (o precisamente), que las funciones pueden ser aproximadas por líneas rectas?

Question

Estoy tratando de crear un poco de intuición de lo que las diversas nociones de análisis media. Por la intuición de la continuidad es que esto significa que la gráfica de la función es "conectado", pero no necesariamente en cualquier forma agradable. Esto me llevó a hacer la pregunta " Dada una función de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y un punto de $x_0 \in \mathbb{R}$, los supuestos que debemos imponer a $f$, de modo que podemos decir $f$ 'aproximadamente una línea" en algún barrio de $x_0$?'

Para aplicar Taylor teorema, necesitamos ese $f$ es dos veces continuamente diferenciable en a $x_0$. Sin embargo, yo sólo estoy interesado en un pequeño barrio de $x_0$, por lo que podemos debilitar estos supuestos?

Ciertamente no podemos debilitar todo el camino hacia abajo a la continuidad en $x_0$; por ejemplo, la función de $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definido por $$g(x) = \begin{cases} x \sin(\frac{1}{x}), \ x \neq 0 \\ 0, \qquad \quad \ x=0 \end{casos}$$ es continua en a $x_0 = 0$, pero ciertamente no puede ser aproximada por una línea. La diferenciabilidad en $x_0$ también no hacen; considerar la posibilidad de $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $$h(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}), \ x \neq 0 \\ 0, \qquad \quad \ \ \ x=0. \end{casos}$$ Este es diferenciable y, por tanto, continua en $x_0 = 0$. De hecho, es diferenciable en todas partes, pero no es continuamente diferenciable en a $0$; derivados del es $h': \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $$h'(x) = \begin{cases} 2x\sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x}), \ x \neq 0 \\ 0, \qquad \qquad \qquad \qquad x=0 \end{casos}$$ cuyo límite en $0$ no existe. Yendo un paso más allá, podemos considerar a $k: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $$k(x) = \begin{cases} x^3 \sin(\frac{1}{x}), \ x \neq 0 \\ 0, \qquad \quad \ \ \ x=0. \end{casos}$$ De nuevo, esto es diferenciable en todas partes, pero ahora es continuamente diferenciable en a $0$ (y así en todas partes); derivados del es $k': \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $$k'(x) = \begin{cases} 3x^2\sin(\frac{1}{x}) - x\cos(\frac{1}{x}), \ x \neq 0 \\ 0, \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ x=0 \end{casos}$$ que es continua en todas partes. Sin embargo esta función, obviamente, todavía no puede ser aproximada por una línea recta cerca de $0$ (ya que toma en positivos, negativos y el cero de los valores arbitrariamente cerca del origen, y una línea recta a través del origen sólo puede tomar lo positivo, lo negativo, $\textit{or}$ cero valores cerca del origen).

Al principio pensé que el problema era que el valor de los derivados de la $g, h$ $k$ $x_0 = 0$ fueron ilimitada, es decir, su 'pendientes' crecer sin límite, sin embargo esto es sólo el caso de $g$; la derivada de $h$ cerca de $0$ es de aproximadamente entre el $-1$ $1$ y el derivado de la $k$ cerca de $0$ está aproximadamente a $0$. Entonces pensé que el problema era que los derivados de la $g, h,$ $k$ había arbitrariamente muchos cambios de signo cerca de $x_0 = 0$, sin embargo, esto también puede no ser el correcto.

Así que ahora estoy confundido. Hacemos de hecho, se necesitan todos los supuestos que justifican Taylor teorema, es decir, dos veces continuamente diferenciable en a $x_0$, para garantizar que una función es " como una línea en un punto? ¿Necesitamos más hipótesis de Taylor teorema de la que tenemos que asumir que la información sobre $f$ no $x_0$, es decir, en algún barrio?

Gracias de antemano. También me importaría comentarios explicando sus intuiciones acerca de la relativa a los conceptos de análisis.

tl;dr: ¿qué restricciones deben ponemos en una función de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, de modo que cuando hacemos 'zoom lo suficientemente cerca', se ve como una línea recta?

Answer 1

Hay varios conceptos relacionados en el trabajo aquí. El término estándar de Cálculo/Análisis es la linealización $L(x)=f^{\prime}(x_{0}) (x-x_{0}) + f(x_{0})$ de una función de $f(x)$ a un punto de $x_{0}$, también a veces se refiere como la aproximación lineal a $f(x)$ $x_{0}$ . Esto, obviamente, puede ser realizado siempre que $f(x)$ es diferenciable en a $x_{0}$, pero realmente se considera que es una "aproximación" a $f(x)$ en ningún sentido, queremos que el comportamiento de $f(x)$ $L(x)$ a coincidir al menos en algunos supuestos. Aquí es donde consideramos que la segunda derivada: si la segunda derivada $f^{\prime\prime}= 0$ en un intervalo, entonces $f^{\prime}$ va a ser constante, y por lo $f(x) = L(x)$. Si $f^{\prime\prime}$ no es constante, pero acotado, entonces podemos hacer una estimación acerca de cómo lejos $f(x)$ $L(x)$ puede conseguir. Si $f^{\prime\prime}$ es ilimitada o indefinida en algunos puntos, en ese intervalo, a continuación, $f(x)$ puede difieren enormemente de $L(x)$ y nuestra aproximación no sea bueno. Todavía nos pueden formar la "aproximación lineal", que sólo podría no ser muy bueno en realidad aproximado de la función.

Si usted sólo necesita considerar una pequeña zona alrededor de $x_{0}$, la forma correcta para debilitar a sus condiciones es que sólo necesita $f^{\prime\prime}$ a definirse en ese pequeño barrio. Que por desgracia probablemente tiene un montón de problemas si $f^{\prime\prime}(x_{0})$ sí es indefinido.

Yo personalmente no lo vuelvas a decir $f$ es de "aproximadamente una línea", sólo que podemos aproximar $f(x)$ mediante una función lineal en ese barrio. El más cercano definición exacta para decir que las funciones son "aproximadamente el mismo" tiene que ver con el concepto de las funciones igualdad de condiciones "casi en todas partes", por lo que decir $f$ es de "aproximadamente una línea" puede ser confuso para significar que usted tiene una función lineal $L(x)$ donde $f(x) = L(x)$ para casi todos los valores de $x$, con pocas excepciones. Decir que una función se aproxima a otra función, básicamente, dice que están cerca, esencialmente diciendo que $|f(x)-L(x)| < A$ algunos $A$. Entonces podemos decir que es una "buena" aproximación a si $A$ es "pequeña" en algún sentido.

Acerca de $k(x)$: "esta función [...] no puede ser aproximada por una línea recta cerca de 0 (ya que se toma en positivos, negativos y el cero de los valores arbitrariamente cerca del origen, y una línea recta a través del origen sólo puede tomar en positivo, negativo o cero o valores". Juzgamos que una aproximación por la cantidad de error, o la distancia entre el $f(x)$ $L(x)$ (donde $L(x)$ es la aproximación lineal). Si esta diferencia es pequeña, no nos importa si uno es positivo y el otro es negativo.

Answer 2

Primero vamos a definir lo que significa que una curva de $c\colon I\to \mathbb R^2$, definida en un intervalo $I$$\mathbb R$, posee una tangente $\tau\in I$: existe una dimensión del subespacio $W$ $\mathbb R^2$ e una $\epsilon>0$ tal que para todos los $s,t\in I\cap(\tau-\epsilon,\tau+\epsilon)$ sostiene que $$c(s)\neq c(t)\text{ and } \lim_{s,t\to\tau}\mathbb R\cdot(c(t)-c(s))=W, \text{ if $s\leq\tau\leq t$ and $s\neq t$}.$$

Para los $\tau$ donde $c$ no tiene una tangente, pero a la izquierda - resp. rightsided tangentes existen vamos a decir que $c$ tiene una punta resp. una ventaja en $\tau$ si la izquierda - y rightsided tangentes son iguales resp. no es el mismo.

Y ahora pueden ocurrir cosas extrañas. Considere la posibilidad de una ligeramente modificada de sus ejemplos, a saber,$c(t)=(t,5+t^2\cdot\sin(\pi/2t))$$t\neq0$$c(0)=(0,0)$. Es inmersiva en $\tau=0$, tiene una tangente en $\tau=0$ pero es un punto límite de $t$'s, para que $c$ tiene una punta. (Considerar las secuencias de $s_n=1/(2n+2)$$t_n=1/(2n+1)$.). Esto no encaja con la noción de "suavidad".

Por lo tanto, vamos a definir

$c$ es suave en $\tau$ si hay un barrio en $U$ $\tau$ tal que $c$ posee una tangente $c(t)+W_t$ todos los $t\in U$$\lim_{t\to\tau}W_t=W_{\tau}$,

es decir, en un barrio de las tangentes existe un convergen a la tangente en a $c(\tau)$.

PS. Aún más extrañeza revela los siguientes bestia. Definir $\phi(t)=e^{-1/t}$ positivos $t$ $0$ más. Definir el inyectiva camino $$c(t)=(\phi(t)+2\phi(-t))\cdot(\cos(1/|t|),\sin(1/|t|))$$ para$t\neq0$$c(0)=(0,0)$. Ahora $c$ no tiene ni una tangente ni un consejo, ni una ventaja en $t=0$. Por favor, siéntase libre para trazar esta curva.