Muestran que

Question

No puedo resolver este ejercicio y necesito un consejo.

PS

dónde $$ \sum_{k=0}^{r} \binom{r-k}{m} \binom{s+k}{n} = \binom{r+s+1}{m+n+1} $.

Answer 1

Se aplican los siguientes en orden:

• la simetría para obtener la suma del índice de $k$ a aparecer en la parte inferior

• superior de la negación para quitar el $k$ de la parte superior

• Vandermonde la identidad de resolver la suma y retire $k$

• superior de la negación a hacer $r, s$ aparecen en la parte superior

• la simetría para quitar el $r, s$ a partir de la parte inferior.

Answer 2

Supongamos que buscamos para evaluar $$\sum_{k=0}^r {r-k\choose m} {s+k\choose n}$$ donde $n\ge s$ $m\le r.$

Introducir $${r-k\elegir m} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{r-k-m+1}} \frac{1}{(1-z)^{m+1}} \; dz.$$

Tenga en cuenta que esto es igual a cero cuando se $k\gt r-m$, por lo que podemos extender la suma de $k$ a $k=\infty.$

Introducir además $${s+k\elegir n} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{(1+w)^{s+k}}{w^{n+1}} \; ps.$$

Esto produce por la suma $$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{r-m+1}} \frac{1}{(1-z)^{m+1}} \frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{(1+w)^{s}}{w^{n+1}} \sum_{k\ge 0} z^k (1+w)^k \; dw\; dz \\ = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{r-m+1}} \frac{1}{(1-z)^{m+1}} \frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{(1+w)^{s}}{w^{n+1}} \frac{1}{1-(1+w)z} \; dw\; dz.$$

Este es $$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{r-m+1}} \frac{1}{(1-z)^{m+2}} \frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{(1+w)^{s}}{w^{n+1}} \frac{1}{1-wz/(1-z)} \; dw\; dz.$$

La extracción del interior de residuo obtenemos $$\sum_{q=0}^n {s\choose n-q} \frac{z^q}{(1-z)^q}.$$

Ahora $$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{r-m-p+1}} \frac{1}{(1-z)^{m+q+2}} \; dz = {r+1\elegir m+q+1}$$

que los rendimientos de la suma $$\sum_{q=0}^n {s\choose n-q} {r+1\choose m+q+1}.$$

Este evalúa a $${s+r+1\choose n+m+1}$$ por inspección es decir, combinatoria.

Sin embargo también podemos evaluar de manera algebraica por re-indexación de $$\sum_{q=0}^s {s\choose q} {r+1\choose m+n-q+1}$$

donde nos han bajado el límite superior de a $s$ desde el primer binomio el coeficiente es cero cuando $q\gt s.$

El uso de $${r+1\elegir m+n-p+1} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{i+1}}{z^{m+n-p+2}} dz$$

de este modo, obtener por la suma $$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{i+1}}{z^{m+n+2}} \sum_{q=0}^s {s\elegir q} z^q dz \\ = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{r+s+1}}{z^{m+n+2}} = {s+r+1\elegir n+m+1}.$$

Answer 3

Contemos de cuántas maneras se puede elegir$m+n+1$ números$a_1<a_2<\cdots <a_{m+n+1}$ fuera de$\{1,2,\cdots, r+s+1\}$?

Como$n\ge s$, solo se puede elegir$a_{n+1}$ desde$\{s+1,\cdots, s+r+1\}$. Para cada valor$a_{n+1}=s+k+1$, uno luego continúa eligiendo$a_1<a_2<\cdots<a_n\leq s+k$ y ...