Reescriba la expresión trigonométrica para que sea numéricamente "estable"

Question

Es posible escribir la siguiente función: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x-\sin x}{1- \cos x}& x\neq 0\\ 0 & x=0 \end{casos}$$ como una composición de funciones elementales (incluyendo $\mathrm{sinc} (x) = (\sin x) / x)$, de modo que yo no conseguir grandes errores numéricos para $x$ cerca de cero?

Esta es la lista completa de funciones que puede utilizar: http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.math.html

Esta fórmula se utiliza para calcular el área de un segmento circular fija la longitud de la cuerda y el ángulo dado.

anexo

He encontrado que puedo escribir: $$f(x) = \frac{\frac{x}{\sin x} - 1}{x} \frac{x}{\sin x}.$$ Pero esto no es resolutiva. A mí me parece que la derivada de la $\mathrm{sinc}$ función no puede ser explícitamente escrito en términos de la extensión de la escuela primaria de las funciones descritas en el enlace de arriba.

Answer 1

Si usas los dos primeros miembros de la serie de Taylor del numerador y el denominador, obtienes

PS

El error de esta aproximación es menor que$$\frac{x-\sin x}{1- \cos x}\approx \frac{x}{3}.$en el intervalo$10^{-8}$

Answer 2

Con el mismo espíritu que Yves Daoust, para una mayor precisión que al usar la serie de Taylor, puedes usar los aproximantes de Pade. El más simple sería $$\frac{x-\sin x}{1- \cos x}\approx \frac{x \left(420-x^2\right)}{45 \left(28-x^2\right)}$$ The error is extremely small : $\ approx 10 ^ {- 15}$ over the interval $(- 0.01,0.01)$.

Otro podría ser$$\frac{x-\sin x}{1- \cos x}\approx \frac{x \left(x^4+12600\right)}{1260 \left(30-x^2\right)}

Answer 3

Puede usar $$\frac{x}{\sin ^2x}+\frac{x}{\tan \left(x\right)\sin \left(x\right)}-\frac{1}{\sin \left(x\right)}-\frac{1}{\tan \left(x\right)}$ $ que es igual a la función original, aunque aún no está definido en 0. También es igual a$$ \frac{x+x\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)-\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)}{\sin ^2\left(x\right)}