Pasando de (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q) a (p ∨ q) ∧ (~p ∨~q)

Question

Estoy confundido sobre cómo pasar de (p ~q) (~p q) a (p q) (~p ~q). Sé que son iguales porque los he introducido en una tabla de verdad y todas las filas tienen los mismos valores. ¿Cuáles serían algunas de las reglas que podría utilizar para demostrar que estos dos son lógicamente equivalentes? Creo que tendría que utilizar la Ley de DeMorgan en algún momento, pero creo que puede haber un paso antes de eso.

Answer 1

Puedes ampliarlo todo: \begin{align*} (p \land \neg q) \lor (\neg p \land q) &\equiv (p \lor \neg p) \land (p \lor q) \land (\neg q \lor \neg p) \land (\neg q \lor q) &\text{by Distributivity Law}\\ &\equiv (p \lor \neg p) \land (p \lor q) \land (\neg p \lor \neg q) \land (q \lor \neg q) &\text{by Commutativity Law}\\ &\equiv (\top) \land (p \lor q) \land (\neg p \lor \neg q) \land (\top) &\text{by Inverse Law}\\ &\equiv (p \lor q) \land (\neg p \lor \neg q) &\text{by Identity Law}\\ \end{align*}