Homotopía de singular $n$-simplices

Question

Me preguntaba si hay alguna manera de encajar en homotopy en la definición de homología singular. Suponga que dos singulares $n$-simplices son homotópica como mapas, se relaciona esto con los mismos en cualquier forma como los elementos de la homología de grupo $H_n$?

Supongo que al menos deberíamos obtener algo de información para $H_1$ homotópica bucles generaría la misma cosa en el grupo fundamental, por lo que al tomar la abelianization, que sería, sin duda, representan el mismo elemento en $H_1$ como singular $1$-simplices.

¿Cuánto podemos decir, en general? Hay casos interesantes donde este nos proporciona información interesante?

Answer 1

$\Delta^n$ realmente no llevan ningún interesante homológica de la información, ya que simplices son contráctiles.

Si se añade la restricción de que el límite del simplex se asigna a un único punto, el análogo de un bucle (de hecho, un singular ciclo), nosotros, en el hecho de ver que $\Delta^n / \partial \Delta^n \cong S^n$, así que tal vez deberíamos estar buscando en mapas fuera de las esferas. Alternativamente, usted podría estar pensando en $\partial \Delta^n = S^{n-1}$ a empezar.

De hecho, los mapas de las esferas son mucho más fructífera. Un mapa de $f : S^n \to X$ da un inducida por el mapa de $f_* : H_n(S^n) \to H_n(X)$. Homotópica mapas de $f,g : S^n \to X$ dar igualdad de mapas de $f_*,g_*$. Observe que $H_n(S^n) = \mathbb{Z}$, y por lo $f_*$ selecciona un elemento de $H_n(X)$. Lo que en este sentido, homotópica mapas de las esferas de escoger la igualdad de los elementos de la homología.

Si usted sabe acerca de la mayor homotopy grupos, de esta forma se define una natural homomorphism $\pi_n(X) \to H_n(X)$ llama la Hurewicz mapa.

Este mapa tiene una propiedad muy útil: si $\pi_1$ es nonvanishing, a continuación, el mapa de $\pi_1(X) \to H_1(X)$ es el abelianization homomorphism. Si $\pi_k$ se desvanece para $k < n$, e $n \ge 2$, $\pi_n(X) \to H_n(X)$ es de hecho un isomorfismo! Esta es una herramienta muy útil para el cómputo de la primera nonvanishing homotopy grupo de un espacio, ya que la homología es típicamente mucho más fácil de calcular que el homotopy grupos.