En el grupo de automorphisms internos del producto semidirecto de dos grupos

Question

Que $G$ y $H$ dos grupos y $\phi: H \rightarrow Aut(G)$ ser un homomorfismo del grupo. ¿Entonces sabemos que $$Inn(G\times H)=Inn(G)\times Inn(H).$$ What about $Inn (G \rtimes H)$?

Creo (no estoy seguro) tenemos $Inn(G)\times Inn(H)\subseteq Inn(G \rtimes H)$. ¿Puede determinar $Inn(G \rtimes H)$?

Gracias

Answer 1

Como he señalado aquí, dejando $\varphi:H\rightarrow \text{Aut}(G)$ definir $G\rtimes H$, $$Z(G\rtimes H) = \left(Z(G)\cap\text{fix}(\varphi)\right)\times \left(\text{ker}(\varphi)\cap Z(H)\right).$$ por lo que $$\text{Inn}(G\rtimes H)\cong \frac{G\rtimes H}{ \left(Z(G)\cap\mbox{fix}(\varphi)\right)\times \left(\text{ker}(\varphi)\cap Z(H)\right)}.$$

En general esto no es isomorfo a $\text{Inn}(G)\times\text{Inn}(H)\cong \left(G/Z(G)\right)\times \left(H/Z(H)\right)$, como se puede ver que $Z(G)\cap \text{fix}(\varphi)$ puede ser apropiado en $Z(G)$, e igualmente para $Z(H)\cap \text{ker}(\varphi)$.

En particular, estamos modding a cabo por las partes que no sólo son centrales, pero se ve afectada por $\varphi$, por lo que esperamos que cualquier trivial acción de $\varphi$ que se conserva en el cociente. Esto sugiere que puede que desee mirar a $\text{Inn}(G)\rtimes \text{Inn}(H)$, donde el semidirect producto se define mediante la inducción de la $\varphi$ hasta el interior de la automorphism grupos. Vamos a ver cómo estos están relacionados.

Deje $\text{Inn}(G)\rtimes \text{Inn}(H)$ ser definido por $\overline{\varphi}:\text{Inn}(H)\rightarrow \text{Aut}(\text{Inn}(G))$ tal que $$\overline{\varphi}(\theta_h)=\Theta_{\theta_h}\hspace{18pt}\text{where}\hspace{18pt}\Theta_{\theta_h}:\theta_g\mapsto\theta_{\varphi(h)(g)}.$$ Let's take a look at $\chi:\text{Inn}(G\rtimes H)\rightarrow \text{Inn}(G)\rtimes \text{Inn}(H)$. Write $\theta\en \text{Inn}(G\rtimes H)$ by $\theta_{gh}$, where $g\in G$ and $h\H$; similarly for $\theta\en \text{Inn}(G)\rtimes \text{Inn}(H)$ we write $\theta_g \theta_h$, where $\theta_g\en \text{Inn}(G)$ and $\theta_h\en \text{Inn}(H)$. Then we can define $\chi(\theta_{gh})=\theta_{g}\theta_{h}$. Now take arbitrary $\theta_{g_1h_1},\theta_{g_2h_2}\in \text{Inn}(G\rtimes H)$.

$$\begin{eqnarray*} \chi(\theta_{g_1h_1})\chi(\theta_{g_2h_2})&=&\theta_{g_1}\theta_{h_1}\theta_{g_2}\theta_{h_2}\\ &=&\theta_{g_1}\overline{\varphi}(\theta_{h_1})(\theta_{g_2})\theta_{h_1}\theta_{h_2}\\ &=&\theta_{g_1}\theta_{\varphi(h_1)(g_2)}\theta_{h_1}\theta_{h_2}\\ &=&\theta_{g_1\varphi(h_1)(g_2)}\theta_{h_1h_2}\\ &=&\chi(\theta_{g_1\varphi(h_1)(g_2)h_1h_2})\\ &=&\chi(\theta_{g_1h_1g_2h_2})\\ &=&\chi(\theta_{g_1h_1}\theta_{g_2h_2}) \end{eqnarray*}$$

Ahora, ¿qué acerca de la $\text{ker}(\chi)$? Tenemos que $\chi(\theta_{gh})=\theta_{g}\theta_{h}=\text{id}_{\text{Inn}(G)\rtimes \text{Inn}(H)}$ si y sólo si $g\in Z(G)$$h \in Z(H)$. Por otro lado $\theta_{gh}=\text{id}_{\text{Inn}(G\rtimes H)}$ si y sólo si $$gh\in Z(G\rtimes H)=\left(Z(G)\cap\text{fix}(\varphi)\right)\times \left(\text{ker}(\varphi)\cap Z(H)\right).$$ So in fact there are nontrivial $\theta_{gh}$ in the kernel of $\chi$ whenever $Z(G)\cap \text{fix}(\varphi)$ is proper in $Z(G)$, and likewise whenever $Z(H)\cap \text{fix}(\varphi)$ is proper in $Z(H)$.

Claramente $\chi$ es surjective, por lo que, de hecho, tenemos que $\text{Inn}(G\rtimes H)$ puede ser más grande que $\text{Inn}(G)\rtimes \text{Inn}(H)$ - en otras palabras, podemos obtener interior de automorfismos través de la adopción de un semidirect producto! Estos se derivan de la no-trivial de acción de la restricción de $\varphi$ $Z(G)\rtimes Z(H)$(que es el núcleo de $G\rtimes H \rightarrow \text{Inn}(G)\rtimes \text{Inn}(H)$).