¿Es válido el principio de d'Alembert para las fuerzas no conservadoras?

Question

Sé que el principio de D'Alembert no es válido para la fricción por deslizamiento. Pero, ¿se cumple para cualquier fuerza no conservativa (que no sea el rozamiento por deslizamiento) o no?

¿Podría dar algunos ejemplos de fuerzas no conservativas (distintas del rozamiento por deslizamiento) para las que se cumpla el principio de D'Alembert?

Answer 1

Todos los D'Alembert Principio se requiere es que los desplazamientos por la fuerza en cuestión son reversibles, por lo que hay muchos que no son las fuerzas conservadoras que presentan esta propiedad.

Tomemos, por ejemplo, la fuerza de $\mathbf{F}(x,y)=(y,-x)$. Esta fuerza no es conservador, ya que tiene un valor distinto de cero curl en el origen y por lo tanto no puede ser un gradiente de una función escalar. Sin embargo, a diferencia de la fricción, la dirección de esta fuerza no depende de la dirección de viaje, así que cualquier trabajo realizado a lo largo de cualquier camino puede ser revertido por el viaje en sentido inverso a lo largo de la misma ruta.

Para un fácil demostración, considere la posibilidad de rutas de acceso que consta de un segmento de un círculo en torno al origen de la radio de $R$. La ruta tiene una longitud de $s = R\Theta$ donde $\Theta$ es el ángulo de la ruta de la barre. Si viajamos hacia la derecha en este camino, ya que $\mathbf{F}$ es siempre paralelo a $\mathbf{ds}$, y tiene magnitud constante $\sqrt{x^2+y^2}=R$, el trabajo realizado es simplemente

$$W_1 = |F|R\Theta=R^2\Theta$$

Si salimos de viaje en sentido inverso (hacia la izquierda) en este camino, $\mathbf{F}$ ahora apunta en la dirección opuesta a $\mathbf{ds}$, por lo que el trabajo realizado en el regreso a nuestro punto de inicio es

$$W_2 = -|F|R\Theta = -R^2\Theta$$

Como se puede ver, $W_1+W_2$ se desvanece para cualquier $\Theta$$R$, por lo que el trabajo a lo largo de cualquier trayectoria circular puede ser revertido. Es relativamente intuitivo, en este punto, extender esta demostración para abarcar todos los caminos.

Answer 2

1. En primer lugar, depende de si se pone la fuerza no conservativa en el cajón de las fuerzas aplicadas o no, cf. mi respuesta de Phys.SE aquí . Para que su pregunta no sea trivial, supongamos que usted hace no poner la fuerza no conservativa en el cajón de las fuerzas aplicadas.

2. En segundo lugar, depende de su definición de fuerza conservadora . Si seguimos la definición de Wikipedia (julio de 2017), la fuerza magnética de Lorentz $$\vec{F}~=~\vec{v}\times \vec{B}\tag{1}$$ no es una fuerza conservadora, ya que depende de la velocidad $\vec{v}$ . Por otra parte, no produce ningún trabajo, por lo que (1) no puede violar El principio de d'Alembert . Por esta (y otras) razones propongo en mi respuesta de Phys.SE aquí relajar la definición convencional de las fuerzas conservativas para permitir algunas fuerzas dependientes de la velocidad.