Probabilidad de que una variable aleatoria con valor entero no negativo sea cero

Question

Estoy tratando de enseñar a mí la teoría de la probabilidad, y un ejercicio que me tiene perplejo. Este ejercicio viene de Alon & Spencer 4.8, en el capítulo sobre el segundo momento del método.

Deje $X$ ser una variable aleatoria toma valores en $\mathbb{Z}_{\geq 0}$. Deje $E[X^2]$ denotar la expectativa de su plaza. Demostrar que

$\displaystyle Pr[X=0] \leq \frac{Var[X]}{E[X^2]}$

En particular, se muestran en el capítulo que esta es la verdadera mediante la sustitución de $E[X^2]$ $E[X]^2$ mediante el uso de una aplicación simple de la desigualdad de Chebyshev (set $\lambda$ en el teorema de a $E[X]/Var[X]$). Sin embargo, esta obligado se ve fácilmente a ser más difícil, y por lo que parece tengo que venir para arriba con una más astuto de la aplicación de la desigualdad a través de la redefinición de la variable aleatoria o la elección de una constante adecuada.

Cualquier sugerencias?

Answer 1

Insinuación:

$$P(X=0)=1-P(X \ge 1)$ $$$\frac{\operatorname{Var}(X)}{E(X^2)}=1-\frac{E(X)^2}{E(X^2)}$ $ Tome una expectativa condicional y use$E(X \mid X \ge 1)^2 \le E(X^2 \mid X \ge 1)$, calcule ambos lados y obtenga el resultado.