Mostrar si $f$ es una norma:
Para $\mathbb{R}^n$, Definir $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $ por $ f(x) = \|x\|^2$ =$\sum_{n} x_n^2 $
Traté de resolver si $f$ satisface las tres propiedades de una norma: 1) vector cero 2)positivo homogeneidad 3)el Triángulo de la Desigualdad.
Se cumple el 1er propiedad obviamente.
Para el 2do de la propiedad, conseguí $f(ax)= ||ax||^2=ax \cdot ax=a^2||x||^2 \neq |a|||x||^2$, lo $f$ no cumple la 2ª a la propiedad.
Para el 3er propiedad, conseguí $f(x+y)=||x+y||^2=(x+y)\cdot (x+y)=||x||^2+2x\cdot y+||y||^2$. Con el fin de satisfacer la desigualdad de triángulo, tiene que ser $||x||^2+2x\cdot y+||y||^2 \le ||x||^2+||y||^2$, yo.e, $x \cdot y \le 0$, pero no hay ninguna garantía de que $x \cdot y \le 0$, por lo que el triangule la desigualdad no está satisfecho.
Desde $f$ no satisface la segunda y la tercera propiedad, no es una norma en $\Bbb R^n$.
Es la anterior prueba correcta? Si no es correcto, podría alguien dar una prueba de este problema? Gracias.
